В треугольнике ABC AB = 10, BC = 14. На биссектрисе BK взята точка M так, что BM : MK = 2 : 3. Найдите площадь треугольника ABM, если площадь треугольника ABC равна 30.

Question

Вопрос:

В треугольнике ABC AB = 10, BC = 14. На биссектрисе BK взята точка M так, что BM : MK = 2 : 3. Найдите площадь треугольника ABM, если площадь треугольника ABC равна 30.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биссектрисы и площадей треугольников. 1. **Свойство биссектрисы:** Биссектриса $BK$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$. Следовательно, $AK = \frac{5}{12}AC$, а $KC = \frac{7}{12}AC$. 2. **Нахождение площади треугольника $ABK$:** Так как треугольники $ABK$ и $CBK$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $B$ на прямую $AC$, их площади относятся как основания: $S_{ABK} = \frac{AK}{AC} \cdot S_{ABC} = \frac{5}{12} \cdot 30 = \frac{5 \cdot 30}{12} = \frac{150}{12} = 12,5$. 3. **Нахождение площади треугольника $ABM$:** Треугольники $ABM$ и $ABK$ имеют общую вершину $A$, а их основания $BM$ и $BK$ лежат на одной прямой. Значит, они имеют общую высоту, опущенную из точки $A$ на прямую $BK$. Отношение их площадей равно отношению оснований: $\frac{S_{ABM}}{S_{ABK}} = \frac{BM}{BK}$. По условию $BM : MK = 2 : 3$, значит $BM$ составляет $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ от всей длины $BK$. $S_{ABM} = \frac{2}{5} \cdot S_{ABK} = \frac{2}{5} \cdot 12,5 = 2 \cdot 2,5 = 5$. **Ответ: 5.**

В треугольнике ABC AB = 10, BC = 14. На биссектрисе BK взята точка M так, что BM : MK = 2 : 3. Найдите площадь треугольника ABM, если площадь треугольника ABC равна 30.

Ответ ассистента

Другие решения