1. ( 1 балл) Вычислите значение выражения (3^32 * 5^8) / (3^2 * 5^4)

Привет! Давай решим задания с твоей карточки по порядку. 1. Вычислите значение выражения $(3^{6} \cdot 5^{6}) / (3^{2} \cdot 5^{4})$ По свойствам степеней: $(3^6 / 3^2) \cdot (5^6 / 5^4) = 3^{6-2} \cdot 5^{6-4} = 3^4 \cdot 5^2 = 81 \cdot 25 = 2025$. **Ответ: 2025.** 2. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 5, 6, 4 дм. Найдите полную поверхность параллелепипеда. Формула полной поверхности: $S = 2(ab + bc + ac)$. $S = 2(5 \cdot 6 + 6 \cdot 4 + 5 \cdot 4) = 2(30 + 24 + 20) = 2 \cdot 74 = 148$ дм². **Ответ: 148 дм².** 3. В коробке лежат 20 белых, 8 красных, 2 синих шара. Какова вероятность того, что будет наугад взят синий шар? Всего шаров: $20 + 8 + 2 = 30$. Благоприятных исходов (синие шары): 2. Вероятность $P = 2/30 = 1/15 \approx 0.067$. **Ответ: 1/15.** 4. Докажите тождество: $(1 + \cos \alpha)(\cos \alpha - 1) = -\sin^2 \alpha$. Разложим левую часть как разность квадратов: $(\cos \alpha + 1)(\cos \alpha - 1) = \cos^2 \alpha - 1$. Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, то $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$. Тождество доказано. 5. Решите уравнение: $(\frac{1}{3})^{2-3x} = 81$. $3^{-1(2-3x)} = 3^4$ $3^{3x-2} = 3^4$ $3x - 2 = 4 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$. **Ответ: 2.** 8. Вычислите определенный интеграл $\int_{0}^{2}(15x^2 + 4) dx$. $\int (15x^2 + 4) dx = 5x^3 + 4x$. Подставим пределы: $(5 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2) - (5 \cdot 0^3 + 4 \cdot 0) = (5 \cdot 8 + 8) - 0 = 40 + 8 = 48$. **Ответ: 48.** 9. Решите уравнение $4\sin x = 5 - 4\cos^2 x$. $4\sin x = 5 - 4(1 - \sin^2 x)$ $4\sin x = 5 - 4 + 4\sin^2 x$ $4\sin^2 x - 4\sin x + 1 = 0$ $(2\sin x - 1)^2 = 0 \Rightarrow \sin x = 1/2$. $x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$. **Ответ: $(-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.** 10. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, боковое ребро – 10 см. Найти объем пирамиды. Пусть сторона квадрата в основании $a$. Диагональ основания $d = a\sqrt{2}$. Расстояние от центра основания до вершины основания равно $d/2 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Из прямоугольного треугольника (высота, половина диагонали, боковое ребро): $h^2 + (d/2)^2 = l^2$. $6^2 + (d/2)^2 = 10^2 \Rightarrow 36 + (d/2)^2 = 100 \Rightarrow (d/2)^2 = 64 \Rightarrow d/2 = 8$. Тогда диагональ $d = 16$. $a\sqrt{2} = 16 \Rightarrow a = 16/\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Площадь основания $S = a^2 = (8\sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128$ см². Объем $V = 1/3 \cdot S \cdot h = 1/3 \cdot 128 \cdot 6 = 128 \cdot 2 = 256$ см³. **Ответ: 256 см³.**