1. Найти значение выражения log6 36 - log6 12 / log6 9

Привет! Давай решим задания из твоего листа. ### 1. Найти значение выражения $\frac{\log_6 36 - \log_6 12}{\log_6 9}$ По свойствам логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$. $\log_6 36 - \log_6 12 = \log_6 (36/12) = \log_6 3$. Тогда выражение равно $\frac{\log_6 3}{\log_6 9}$. Используем свойство перехода к новому основанию: $\log_9 3 = x$, значит $9^x = 3 \Rightarrow (3^2)^x = 3^1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0,5$. **Ответ: 0,5.** ### 2. Числовой ряд: 8, 9, 10, 9, 6, 10, 5, 9 Упорядочим ряд: 5, 6, 8, 9, 9, 9, 10, 10. - Среднее арифметическое: $(5+6+8+9+9+9+10+10)/8 = 76/8 = 9,5$. - Медиана: среднее между 4-м и 5-м элементами: $(9+9)/2 = 9$. - Размах: $10 - 5 = 5$. **Ответ: ср.арифм. = 9,5; медиана = 9; размах = 5.** ### 3. Найти значение выражения $\sqrt[3]{2^9 \cdot 3^{12}}$ $\sqrt[3]{2^9 \cdot 3^{12}} = (2^9)^{1/3} \cdot (3^{12})^{1/3} = 2^{9/3} \cdot 3^{12/3} = 2^3 \cdot 3^4 = 8 \cdot 81 = 648$. **Ответ: 648.** ### 4. Найти производную функции $y = 2x^3 - 5x^2$ $y' = (2x^3)' - (5x^2)' = 2 \cdot 3x^2 - 5 \cdot 2x = 6x^2 - 10x$. **Ответ: $6x^2 - 10x$.** ### 5. Материальная точка движется по закону $s(t) = 2t^3 - 6t^2 + 4t$. Найти ускорение в конце 4-й секунды. Скорость $v(t) = s'(t) = 6t^2 - 12t + 4$. Ускорение $a(t) = v'(t) = 12t - 12$. При $t=4$: $a(4) = 12 \cdot 4 - 12 = 48 - 12 = 36$. **Ответ: 36.** ### 6. Наибольшее и наименьшее значение функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 5$ на отрезке $[-4; 3]$ $f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x-2)(x+2)$. Критические точки: $x=0, x=2, x=-2$. Все входят в отрезок. $f(-4) = (-4)^4 - 8(-4)^2 + 5 = 256 - 128 + 5 = 133$. $f(-2) = 16 - 32 + 5 = -11$. $f(0) = 5$. $f(2) = 16 - 32 + 5 = -11$. $f(3) = 81 - 72 + 5 = 14$. Наибольшее: 133, наименьшее: -11. **Ответ: max=133, min=-11.** ### 7. Решить уравнение $25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$ Пусть $t = 5^x, t > 0$. Тогда $t^2 - 6t + 5 = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 5$. 1) $5^x = 1 \Rightarrow 5^x = 5^0 \Rightarrow x = 0$. 2) $5^x = 5 \Rightarrow 5^x = 5^1 \Rightarrow x = 1$. **Ответ: 0; 1.** ### 8. Площадь боковой поверхности призмы ($n=4, a=12, h=8$) $n=4$ — значит это четырёхугольная призма. В правильной призме основание — квадрат. $P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 12 = 48$. $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 48 \cdot 8 = 384$. **Ответ: 384.** ### 9. Построить график функции $3x + y = 5$ $y = -3x + 5$. Это прямая. Точки для построения: Если $x=0, y=5$; если $x=1, y=2$; если $x=2, y=-1$. :::div .chart-container @chart-1::: ### 10. Вычислить определённый интеграл $\int_0^2 (6x^7 + 9x^8 - 5) dx$ $= [\frac{6x^8}{8} + \frac{9x^9}{9} - 5x]_0^2 = [0,75x^8 + x^9 - 5x]_0^2$ $= (0,75 \cdot 256 + 512 - 10) - (0) = 192 + 512 - 10 = 694$. **Ответ: 694.** ### 11. Найти объём конуса, если радиус основания равен 6 см, а высота цилиндра 9 см. *Допущение: вероятно, речь идет о конусе с радиусом 6 см и высотой 9 см.* $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 36 \cdot 9 = 108\pi \approx 339,12$. **Ответ: $108\pi$ см³.**