Рубежный контроль 7 Вариант 23 1. Алгоритм интегрирования дробно-рациональной функции.

Привет! Давай разберем задания из твоего рубежного контроля. ### 1. Алгоритм интегрирования дробно-рациональной функции: 1. Если дробь неправильная (степень числителя $\ge$ степени знаменателя), выделить целую часть делением «уголком». 2. Разложить знаменатель на множители (линейные и квадратичные). 3. Представить дробь в виде суммы простейших дробей: $\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{Bx+C}{x^2+px+q} + \dots$ 4. Найти неопределенные коэффициенты (метод неопределенных коэффициентов). 5. Проинтегрировать полученные простейшие дроби. ### 2. Метод непосредственного интегрирования в определенном интеграле: Это использование таблицы интегралов и свойств линейности (интеграл суммы равен сумме интегралов, константу можно выносить), чтобы вычислить интеграл, а затем применить формулу Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$. ### 3. Найти неопределенный интеграл $\int \frac{\sqrt{x} + 36}{x} dx$: Разделим почленно: $\int (\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{36}{x}) dx = \int (x^{-1/2} + 36 \cdot \frac{1}{x}) dx$ $= \frac{x^{1/2}}{1/2} + 36 \ln|x| + C = 2\sqrt{x} + 36\ln|x| + C$ ### 4. Найти неопределенный интеграл $\int \frac{x + 1}{(x^2 + 2x + 37)(x - 1)} dx$: Разложим подынтегральную функцию на сумму дробей: $\frac{x + 1}{(x^2 + 2x + 37)(x - 1)} = \frac{Ax+B}{x^2+2x+37} + \frac{C}{x-1}$ Приводим к общему знаменателю: $x+1 = (Ax+B)(x-1) + C(x^2+2x+37)$ При $x=1$: $2 = C(1+2+37) \Rightarrow 2 = 40C \Rightarrow C = 1/20$ Коэффициенты при $x^2$: $0 = A + C \Rightarrow A = -1/20$ Свободный член: $1 = -B + 37C \Rightarrow B = 37(1/20) - 1 = 17/20$ Интеграл: $-\frac{1}{20} \int \frac{x-17}{x^2+2x+37} dx + \frac{1}{20} \int \frac{1}{x-1} dx$ Выделим полный квадрат: $x^2+2x+37 = (x+1)^2+36$ $-\frac{1}{20} \int \frac{x+1-18}{(x+1)^2+6^2} dx + \dots = -\frac{1}{20} \left( \frac{1}{2}\ln((x+1)^2+36) - 3\arctan\frac{x+1}{6} \right) + \frac{1}{20}\ln|x-1| + C$ ### 5. Определить протяженность маршрута: Путь $S = \int_0^5 v(t) dt = \int_0^5 (\sqrt{16t+1} + 4t + 3) dt$ $\int (16t+1)^{1/2} dt = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{16} (16t+1)^{3/2} = \frac{1}{24}(16t+1)^{3/2}$ $S = \left[ \frac{1}{24}(16t+1)^{3/2} + 2t^2 + 3t \right]_0^5$ При $t=5$: $\frac{1}{24}(81)^{3/2} + 2(25) + 3(5) = \frac{729}{24} + 50 + 15 = 30.375 + 65 = 95.375$ При $t=0$: $\frac{1}{24}(1)^{3/2} = 1/24 \approx 0.0417$ $S = 95.375 - 0.0417 = 95.3333...$ км. ### 6. Вычислить $b_n$: $b_n = \frac{1}{3} \int_{-3}^3 (1+2x) \sin(\frac{n\pi x}{3}) dx$ Заметим, что $1$ — четная, $\sin(\dots)$ — нечетная, произведение нечетное (интеграл равен 0). $2x$ — нечетная, $\sin(\dots)$ — нечетная, произведение четное. $b_n = \frac{2}{3} \int_0^3 2x \sin(\frac{n\pi x}{3}) dx = \frac{4}{3} \int_0^3 x \sin(\frac{n\pi x}{3}) dx$ Интегрируем по частям ($u=x, dv=\sin(\frac{n\pi x}{3})dx$): $b_n = \frac{4}{3} \left( -\frac{3x}{n\pi} \cos(\frac{n\pi x}{3}) \Big|_0^3 + \frac{3}{n\pi} \int_0^3 \cos(\frac{n\pi x}{3}) dx \right)$ $b_n = \frac{4}{3} \left( -\frac{9}{n\pi} (-1)^n + 0 \right) = -\frac{12}{n\pi}(-1)^n = \frac{12(-1)^{n+1}}{n\pi}$