1. Точки A(3; 5; 2), B(2; -7; 5), C(1; 6; 8), D(1; 6; 4) заданы координатами. Найдите:

Для решения задачи с векторами используем координаты точек: $A(3; 5; 2)$, $B(2; -7; 5)$, $C(1; 6; 8)$, $D(1; 6; 4)$. **а) Координаты векторов и разложение по ортам** Координаты вектора $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (2 - 3; -7 - 5; 5 - 2) = (-1; -12; 3)$. Разложение по ортам: $\vec{AB} = -\vec{i} - 12\vec{j} + 3\vec{k}$. Координаты вектора $\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (1 - 1; 6 - 6; 4 - 8) = (0; 0; -4)$. Разложение по ортам: $\vec{CD} = -4\vec{k}$. **б) Модули векторов** $|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-12)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 144 + 9} = \sqrt{154}$. $|\vec{CD}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$. **в) Вектор $\vec{m} = 2\vec{AB} - \vec{CD}$** $2\vec{AB} = 2(-1; -12; 3) = (-2; -24; 6)$. $\vec{m} = (-2 - 0; -24 - 0; 6 - (-4)) = (-2; -24; 10)$. **г) Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$** $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-1)\cdot 0 + (-12)\cdot 0 + 3\cdot (-4) = 0 + 0 - 12 = -12$. **д) Угол между векторами** Используем формулу $\cos \phi = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}$. $\cos \phi = \frac{-12}{\sqrt{154} \cdot 4} = \frac{-3}{\sqrt{154}}$. $\phi = \arccos \left(-\frac{3}{\sqrt{154}}\right)$.