Найти точки экстремума функции: y = x^3 - 6x^2

### Решение задачи 7 Найти точки экстремума функции $y = x^3 - 6x^2$. 1. Найдем производную функции: $y' = (x^3 - 6x^2)' = 3x^2 - 12x$ 2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $3x^2 - 12x = 0$ $3x(x - 4) = 0$ $x_1 = 0, x_2 = 4$ 3. Определим характер экстремумов: Производная $3x^2 - 12x$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Знаки производной: плюс на $(-\infty, 0)$, минус на $(0, 4)$, плюс на $(4, +\infty)$. - В точке $x = 0$ функция меняет знак с плюса на минус (максимум). - В точке $x = 4$ функция меняет знак с минуса на плюс (минимум). **Ответ:** Точка максимума $x = 0$, точка минимума $x = 4$. ### Решение задачи 8 Найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = x^3 - 3x^2 + 2$ на отрезке $[1; 4]$. 1. Найдем производную: $y' = 3x^2 - 6x$ 2. Найдем критические точки на интервале: $3x^2 - 6x = 0$ $3x(x - 2) = 0$ $x_1 = 0, x_2 = 2$ 3. Проверим точки $x = 2$ (попадает в отрезок $[1; 4]$) и концы отрезка $x = 1, x = 4$: - $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ - $y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$ - $y(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 2 = 64 - 48 + 2 = 18$ Наименьшее значение: $-2$, наибольшее: $18$. **Ответ:** Наименьшее значение $-2$, наибольшее $18$.