№1. Вычислить: (1/27)^(-1/3) * (125^(-1))^(-1/3)

Допущение: в первом примере число в знаменателе принято за 27, так как оно лучше подходит для школьной задачи. ### №1. Вычислить $(1/27)^{-1/3} \cdot (125^{-1})^{-1/3} = ((3^{-3})^{-1})^{-1/3} \cdot ((5^3)^{-1})^{-1/3} = 3^1 \cdot 5^1 = 15$. **Ответ: 15.** ### №2. Решить уравнения 1) $\sqrt[3]{7-x} = 2$ Возведем обе части в куб: $7 - x = 8$ $-x = 1$ $x = -1$ 2) $2^{x+3} - 2^{x+1} = 12$ Вынесем $2^{x+1}$ за скобки: $2^{x+1}(2^2 - 1) = 12$ $2^{x+1}(4 - 1) = 12$ $2^{x+1} \cdot 3 = 12$ $2^{x+1} = 4$ $2^{x+1} = 2^2$ $x + 1 = 2 \Rightarrow x = 1$ 3) $\lg(x-2) + \lg x = \lg 3$ ОДЗ: $x-2 > 0$ и $x > 0 \Rightarrow x > 2$. $\lg((x-2)x) = \lg 3$ $x^2 - 2x = 3$ $x^2 - 2x - 3 = 0$ По теореме Виета корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Корень $-1$ не подходит по ОДЗ. **Ответ: 3.** 4) $4 \sin x + 3 \cos x = 0$ $4 \sin x = -3 \cos x$ Разделим на $\cos x$ (при $\cos x \neq 0$): $4 \tan x = -3$ $\tan x = -3/4$ $x = \arctan(-0,75) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### №3. Решить неравенства 1) $5^{x-1} \le \sqrt{5}$ $5^{x-1} \le 5^{0,5}$ $x - 1 \le 0,5$ $x \le 1,5$ 2) $\log_2(x-5) \le 2$ ОДЗ: $x > 5$. $x - 5 \le 2^2$ $x - 5 \le 4$ $x \le 9$ С учетом ОДЗ получаем промежуток $(5; 9]$.