Задания для проведения аттестации студентов ПОО в письменной форме по учебной дисциплине: «Математика» в 2025 – 26 учебном году

Привет! Давай разберем эти задачи по порядку. 1. Найдите значение выражения: $21^{0,7} \cdot 7^{0,3} : 3^{-0,3}$ $21^{0,7} = (3 \cdot 7)^{0,7} = 3^{0,7} \cdot 7^{0,7}$ $\frac{3^{0,7} \cdot 7^{0,7} \cdot 7^{0,3}}{3^{-0,3}} = \frac{3^{0,7} \cdot 7^{0,7+0,3}}{3^{-0,3}} = \frac{3^{0,7} \cdot 7^1}{3^{-0,3}} = 3^{0,7 - (-0,3)} \cdot 7 = 3^1 \cdot 7 = 21$. **Ответ: 21.** 2. Решите уравнение $\sin^2x + \sin x - 2 = 0$ Пусть $t = \sin x$, $|t| \le 1$. Уравнение: $t^2 + t - 2 = 0$. Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9$. $t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$, $t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$ (не подходит, так как $|t| \le 1$). $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.** 3. Область определения функции $y = \log_2(4-5x)$ Условие: $4 - 5x > 0 \Rightarrow 5x < 4 \Rightarrow x < 0,8$. **Ответ: $(-\infty; 0,8)$.** 4. Решите уравнение $x - 6 = \sqrt{2x + 12}$ Возведем в квадрат (с условием $x - 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge 6$): $(x-6)^2 = 2x + 12$ $x^2 - 12x + 36 = 2x + 12$ $x^2 - 14x + 24 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 12, x_2 = 2$. Условие $x \ge 6$ выполняется только для $x = 12$. **Ответ: 12.** 5. Решите уравнение $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$ Пусть $t = 3^x, t > 0$. $t^2 - 8t - 9 = 0$. Корни: $t_1 = 9, t_2 = -1$ (не подходит, $t>0$). $3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2$. **Ответ: 2.** 6. Найдите промежутки возрастания функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 17$ Найдем производную: $y' = 3x^2 - 12x + 9$. Приравняем к нулю: $3(x^2 - 4x + 3) = 0 3(x-1)(x-3) = 0$. Функция возрастает там, где $y' > 0$: $(-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$. **Ответ: $(-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.** 7. Вычислите $\log_8 12 - \log_8 15 + \log_8 20$ $\log_8 (\frac{12 \cdot 20}{15}) = \log_8 (\frac{240}{15}) = \log_8 16 = \log_{2^3} (2^4) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. **Ответ: $1\frac{1}{3}$.** 8. Найдите первообразную $f(x) = 4x + \frac{1}{x}$, проходящую через $M(-1; 4)$ $F(x) = \int (4x + \frac{1}{x}) dx = 2x^2 + \ln|x| + C$. Подставим точку $M(-1; 4)$: $4 = 2(-1)^2 + \ln|-1| + C$ $4 = 2 + 0 + C \Rightarrow C = 2$. $F(x) = 2x^2 + \ln|x| + 2$. **Ответ: $F(x) = 2x^2 + \ln|x| + 2$.** 9. Высота треугольника делит сторону на отрезки 4 см и 8 см. Разница остальных сторон 2 см. Найдите стороны треугольника. Пусть $h$ — высота, $x$ и $y$ — стороны. По теореме Пифагора: $x^2 - 4^2 = y^2 - 8^2$ $x^2 - 16 = y^2 - 64$ $y^2 - x^2 = 48$ $(y - x)(y + x) = 48$. Так как разница сторон 2 см, $|y - x| = 2$. Пусть $y > x$, тогда $y - x = 2$. $2(y + x) = 48 \Rightarrow y + x = 24$. Система: $y - x = 2$ и $y + x = 24$. $2y = 26 \Rightarrow y = 13$, $x = 11$. Основание треугольника $4+8 = 12$. **Ответ: 11 см, 12 см, 13 см.** 10. Угол между высотой конуса и образующей 60°, образующая 18 см. Найдите площадь полной поверхности. Радиус основания $R = l \cdot \sin(60^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$. Высота $H = l \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot 0,5 = 9$. $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R (l + R) = \pi \cdot 9\sqrt{3} (18 + 9\sqrt{3}) = 162\sqrt{3}\pi + 243\pi = 81\pi(2\sqrt{3} + 3)$. **Ответ: $81\pi(2\sqrt{3} + 3)$ см$^2$.**