1. $\log_{\frac{1}{7}}(7-x) = -2$
По определению логарифма: $7-x = (\frac{1}{7})^{-2} = (7^{-1})^{-2} = 7^2 = 49$.
$-x = 49 - 7 \Rightarrow -x = 42 \Rightarrow x = -42$.
Проверка: $7 - (-42) = 49 > 0$. Подходит.
**Ответ: -42**
2. $\frac{12 \sin 11^\circ \cos 11^\circ}{\sin 22^\circ}$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha$, значит $\sin 22^\circ = 2 \sin 11^\circ \cos 11^\circ$.
Тогда: $\frac{6 \cdot (2 \sin 11^\circ \cos 11^\circ)}{\sin 22^\circ} = \frac{6 \sin 22^\circ}{\sin 22^\circ} = 6$.
**Ответ: 6**
3. $\frac{\sqrt{-3x^2 - 2x + 8}}{(x+11)(x+1)}$
Область определения:
1) Выражение под корнем $\ge 0$: $-3x^2 - 2x + 8 \ge 0$.
Корни уравнения $-3x^2 - 2x + 8 = 0$ (через дискриминант $D = 4 - 4(-3)(8) = 100$): $x_1 = \frac{2+10}{-6} = -2$, $x_2 = \frac{2-10}{-6} = \frac{4}{3}$.
Неравенство выполняется при $x \in [-2; \frac{4}{3}]$.
2) Знаменатель $\neq 0$: $x \neq -11$ и $x \neq -1$.
Учитывая оба условия: $x \in [-2; -1) \cup (-1; \frac{4}{3}]$.
**Ответ: [-2; -1) \cup (-1; 4/3]**
4. $y = 2x^2 - 5x + \ln x - 3$
Найдем производную: $y' = 4x - 5 + \frac{1}{x}$.
Приравняем к нулю: $4x - 5 + \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow 4x^2 - 5x + 1 = 0$.
Корни: $D = 25 - 16 = 9$, $x = \frac{5 \pm 3}{8}$, т.е. $x_1 = 1, x_2 = 0,25$.
При $x > 1$ производная положительна, при $0,25 < x < 1$ отрицательна, при $0 < x < 0,25$ положительна. $x=1$ — точка минимума.
**Ответ: 1**
5. $\sin 2x = 2\sin^2 x$
$2\sin x \cos x = 2\sin^2 x \Rightarrow \sin x (\cos x - \sin x) = 0$.
1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$.
2) $\sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
**Ответ: \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n$**
6. $3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$
Пусть $3^x = t$ ($t > 0$): $t^2 - 10t + 9 = 0$.
Корни: $t_1 = 9, t_2 = 1$.
$3^x = 9 \Rightarrow x = 2$.
$3^x = 1 \Rightarrow x = 0$.
Меньший корень равен 0.
**Ответ: 0**
7. $5^{x^2-4} > 1$
$5^{x^2-4} > 5^0 \Rightarrow x^2 - 4 > 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) > 0$.
**Ответ: x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)**
8. $\sqrt{6-x-x^2} = x + 1$
Возведем в квадрат: $6 - x - x^2 = x^2 + 2x + 1$ при условии $x + 1 \ge 0$.
$2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Корни через $D = 9 - 4(2)(-5) = 49$: $x = \frac{-3 \pm 7}{4}$, т.е. $x_1 = 1, x_2 = -2,5$.
Условие $x \ge -1$: $x=1$ подходит, $x=-2,5$ нет.
**Ответ: 1**
9. Пусть катеты $a$ и $b$, гипотенуза $c$. $r = \frac{a+b-c}{2} = 3$, $a = 10$.
$10+b-c = 6 \Rightarrow c = b+4$.
По теореме Пифагора: $100 + b^2 = (b+4)^2 = b^2 + 8b + 16$.
$84 = 8b \Rightarrow b = 10,5$.
$c = 10,5 + 4 = 14,5$.
Радиус описанной окружности $R = \frac{c}{2} = \frac{14,5}{2} = 7,25$.
**Ответ: 7,25**
10. Трапеция с основаниями $a=4, b=10$, высота $h=4$. Вращение вокруг основания $10$.
Получается цилиндр (высота $H=10$, радиус $R=4$) и два конуса по бокам (радиус $R=4$, высота $h_c = \frac{10-4}{2} = 3$).
Боковая поверхность цилиндра: $S_{цил} = 2\pi Rh = 2\pi \cdot 4 \cdot 4 = 32\pi$ (вращаем вокруг большего основания, значит цилиндр внутри). Фактически фигура — цилиндр с двумя конусами по бокам.
$S_{полная} = 2S_{бок.кон} + S_{бок.цил} + 2S_{осн.кон}$? Нет, внешняя поверхность: $2 \cdot S_{бок.конуса} + S_{бок.цилиндра}$.
Образующая конуса $l = \sqrt{4^2+3^2} = 5$.
$S = 2 \cdot (\pi R l) + 2\pi Rh_{цил} = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 5 + 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 4 = 40\pi + 32\pi = 72\pi$.
**Ответ: 72\pi**
