Вычислите: $\sqrt[4]{81} \times \sqrt[8]{256} + \sqrt[5]{32}$

Привет! Давай разберем задания из твоего варианта экзаменационной работы по математике. ### 1. Вычислить: $\sqrt[4]{81} \times \sqrt[8]{256} + \sqrt[5]{32}$ $\sqrt[4]{81} = 3$ (так как $3^4 = 81$) $\sqrt[8]{256} = 2$ (так как $2^8 = 256$) $\sqrt[5]{32} = 2$ (так как $2^5 = 32$) $3 \times 2 + 2 = 6 + 2 = 8$. **Ответ: 8.** ### 2. Решите уравнения: а) $7^{9+x} = 49$ $7^{9+x} = 7^2$ $9 + x = 2 \Rightarrow x = 2 - 9 = -7$. б) $(\frac{1}{4})^{4x-10} = \frac{1}{16}$ $(\frac{1}{4})^{4x-10} = (\frac{1}{4})^2$ $4x - 10 = 2 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3$. **Ответ: а) -7; б) 3.** ### 3. Вычислите: а) $\log_3 36 - \log_3 4 = \log_3(36/4) = \log_3 9 = 2$ (так как $3^2 = 9$). б) $\log_4 12 + \log_4 3 - \log_4 9 = \log_4(12 \times 3 / 9) = \log_4(36 / 9) = \log_4 4 = 1$. **Ответ: а) 2; б) 1.** ### 4. Правильная четырехугольная призма Стороны основания $a = 12$ см, боковые ребра $h = 13$ см. Площадь поверхности: $S = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$. $S_{\text{осн}} = a^2 = 12^2 = 144$ см$^2$. $S_{\text{бок}} = 4 \times a \times h = 4 \times 12 \times 13 = 624$ см$^2$. $S = 2 \times 144 + 624 = 288 + 624 = 912$ см$^2$. **Ответ: 912 см$^2$.** ### 5. Найти $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $\sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$. Так как угол в 3-й четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), синус отрицателен: $\sin \alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$. **Ответ: -12/13.** ### 6. Скорость и ускорение Закон движения: $x(t) = 6t^3 - t + 6$. Скорость $v(t) = x'(t) = 18t^2 - 1$. При $t = 5$: $v(5) = 18(5^2) - 1 = 18 \times 25 - 1 = 450 - 1 = 449$ м/с. Ускорение $a(t) = v'(t) = 36t$. При $t = 5$: $a(5) = 36 \times 5 = 180$ м/с$^2$. **Ответ: 449 м/с; 180 м/с$^2$.** ### 7. Объем конуса $h = 24$ см, $R = 10$ см. Формула: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 10^2 \times 24 = 800\pi \approx 2512$ см$^3$. **Ответ: 800$\pi$ см$^3$.** ### 8. Частотная таблица (рост 120, 125, 122, 126, 122, 130, 128, 125, 136, 122) Упорядочим: 120, 122, 122, 122, 125, 125, 126, 128, 130, 136. | Рост (см) | Частота | | :--- | :--- | | 120 | 1 | | 122 | 3 | | 125 | 2 | | 126 | 1 | | 128 | 1 | | 130 | 1 | | 136 | 1 | ### 9. Система уравнений $\begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ -4x + 5y = 14 \end{cases}$ Умножим первое уравнение на 2: $4x + 6y = 8$. Сложим со вторым: $(4x + 6y) + (-4x + 5y) = 8 + 14 \Rightarrow 11y = 22 \Rightarrow y = 2$. Подставим в первое: $2x + 3(2) = 4 \Rightarrow 2x + 6 = 4 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$. **Ответ: (-1; 2).** ### 10. Вероятность Всего шаров: $12 + 19 = 31$. Черных шаров: 12. Вероятность вытянуть черный: $P = \frac{12}{31} \approx 0.387$. **Ответ: 12/31.**