Найдите трёхзначное число, кратное 11, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $n = 100a + 10b + c$, где $a, b, c$ — различные цифры, $a \neq 0$. 1. Число $n$ кратно 11. Признак делимости на 11: сумма цифр на нечётных местах минус сумма цифр на чётных местах делится на 11. В нашем случае: $a - b + c$ делится на 11. Возможные значения выражения $a - b + c$ для трёхзначного числа: $-9 \le a - b + c \le 18$. Значит, $a - b + c = 0$ или $a - b + c = 11$. 2. Рассмотрим случай $a - b + c = 0$, то есть $b = a + c$. Число имеет вид $a(a+c)c$. Так как цифры различны и $a+c < 10$, переберем варианты: - Пусть $a=1, c=0 \implies b=1$. Цифры не различны ($a=b$). Не подходит. - Пусть $a=1, c=2 \implies b=3$. Число 132. Сумма квадратов: $1^2+3^2+2^2 = 1+9+4 = 14$. 14 не делится на 4. Не подходит. - Пусть $a=1, c=3 \implies b=4$. Число 143. Сумма квадратов: $1^2+4^2+3^2 = 1+16+9 = 26$. 26 не делится на 4. Не подходит. - Пусть $a=1, c=4 \implies b=5$. Число 154. Сумма квадратов: $1^2+5^2+4^2 = 1+25+16 = 42$. 42 не делится на 4. Не подходит. - Пусть $a=1, c=5 \implies b=6$. Число 165. Сумма квадратов: $1^2+6^2+5^2 = 1+36+25 = 62$. 62 не делится на 4. Не подходит. - Пусть $a=1, c=6 \implies b=7$. Число 176. Сумма квадратов: $1^2+7^2+6^2 = 1+49+36 = 86$. 86 не делится на 4. Не подходит. - Пусть $a=1, c=7 \implies b=8$. Число 187. Сумма квадратов: $1^2+8^2+7^2 = 1+64+49 = 114$. 114 не делится на 4. Не подходит. - Пусть $a=1, c=8 \implies b=9$. Число 198. Сумма квадратов: $1^2+9^2+8^2 = 1+81+64 = 146$. 146 не делится на 4. Не подходит. 3. Рассмотрим случай $a - b + c = 11$, то есть $b = a + c - 11$. - Пусть $a=3, c=9 \implies b=1$. Число 319. Сумма квадратов: $3^2+1^2+9^2 = 9+1+81 = 91$. Не делится на 4. - Пусть $a=4, c=8 \implies b=1$. Число 418. Сумма квадратов: $4^2+1^2+8^2 = 16+1+64 = 81$. Не делится на 4. - Пусть $a=5, c=7 \implies b=1$. Число 517. Сумма квадратов: $5^2+1^2+7^2 = 25+1+49 = 75$. Не делится на 4. - Пусть $a=6, c=6$ — цифры не различны. - Пусть $a=7, c=5 \implies b=1$. Число 715. Сумма квадратов: $7^2+1^2+5^2 = 49+1+25 = 75$. Не делится на 4. - Пусть $a=8, c=4 \implies b=1$. Число 814. Сумма квадратов: $8^2+1^2+4^2 = 64+1+16 = 81$. Не делится на 4. - Пусть $a=9, c=3 \implies b=1$. Число 913. Сумма квадратов: $9^2+1^2+3^2 = 81+1+9 = 91$. Не делится на 4. - Пусть $a=2, c=9 \implies b=0$. Число 209. Сумма квадратов: $2^2+0^2+9^2 = 4+0+81 = 85$. Не делится на 4. - Пусть $a=3, c=8 \implies b=0$. Число 308. Сумма квадратов: $3^2+0^2+8^2 = 9+0+64 = 73$. Не делится на 4. - Пусть $a=4, c=7 \implies b=0$. Число 407. Сумма квадратов: $4^2+0^2+7^2 = 16+0+49 = 65$. Не делится на 4. - Пусть $a=5, c=6 \implies b=0$. Число 506. Сумма квадратов: $5^2+0^2+6^2 = 25+0+36 = 61$. Не делится на 4. - Пусть $a=6, c=5 \implies b=0$. Число 605. Сумма квадратов: $6^2+0^2+5^2 = 36+0+25 = 61$. Не делится на 4. - Пусть $a=7, c=4 \implies b=0$. Число 704. Сумма квадратов: $7^2+0^2+4^2 = 49+0+16 = 65$. Не делится на 4. - Пусть $a=8, c=3 \implies b=0$. Число 803. Сумма квадратов: $8^2+0^2+3^2 = 64+0+9 = 73$. Не делится на 4. - Пусть $a=9, c=2 \implies b=0$. Число 902. Сумма квадратов: $9^2+0^2+2^2 = 81+0+4 = 85$. Не делится на 4. - Пусть $a=2, c=0 \implies b=3$ (из $a-b+c=0$). Число 230 не кратно 11. - Вернемся к проверкам: например, число 264. Делится на 11? $264/11 = 24$. Да. Сумма квадратов: $2^2+6^2+4^2 = 4+36+16 = 56$. $56 / 4 = 14$ (делится), $56 / 16 = 3,5$ (не делится). Условие выполнено! **Ответ: 264**