9.19. ∫ dx / (4x^2 + 1)

Привет! Давай решим предложенные интегралы. **9.19.** $\int \frac{dx}{4x^2 + 1} = \int \frac{dx}{(2x)^2 + 1}$. Это табличный интеграл вида $\int \frac{du}{u^2 + 1} = \arctan(u) + C$. Пусть $u = 2x$, тогда $du = 2dx$, откуда $dx = \frac{1}{2}du$. $\int \frac{\frac{1}{2}du}{u^2 + 1} = \frac{1}{2} \arctan(u) + C = \frac{1}{2} \arctan(2x) + C$. **9.20.** $\int \frac{x^3 + 9x - 2}{x^2 + 9} dx$. Разделим почленно: $\int \frac{x(x^2 + 9) - 2}{x^2 + 9} dx = \int (x - \frac{2}{x^2 + 9}) dx = \int x dx - 2 \int \frac{dx}{x^2 + 3^2}$. $\frac{x^2}{2} - 2 \cdot \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) + C = \frac{x^2}{2} - \frac{2}{3} \arctan(\frac{x}{3}) + C$. **9.21.** $\int \frac{x^2 + 4}{x^2 - 1} dx$. Выделим целую часть: $\int \frac{(x^2 - 1) + 5}{x^2 - 1} dx = \int (1 + \frac{5}{x^2 - 1}) dx = \int 1 dx + 5 \int \frac{dx}{x^2 - 1}$. Для второго интеграла используем формулу высокого логарифма: $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln|\frac{x-a}{x+a}| + C$. $x + 5 \cdot \frac{1}{2} \ln|\frac{x-1}{x+1}| + C = x + \frac{5}{2} \ln|\frac{x-1}{x+1}| + C$. **9.22.** $\int \frac{x^2}{x^2 + 1} dx$. Выделим целую часть: $\int \frac{x^2 + 1 - 1}{x^2 + 1} dx = \int (1 - \frac{1}{x^2 + 1}) dx = \int 1 dx - \int \frac{dx}{x^2 + 1}$. $x - \arctan(x) + C$. **9.23.** $\int \frac{x^2}{x^2 - 1} dx$. Аналогично 9.21, выделим целую часть: $\int \frac{x^2 - 1 + 1}{x^2 - 1} dx = \int (1 + \frac{1}{x^2 - 1}) dx = \int 1 dx + \int \frac{dx}{x^2 - 1}$. $x + \frac{1}{2} \ln|\frac{x-1}{x+1}| + C$. **9.24.** $\int \frac{x^4}{x^2 + 1} dx$. Выполним деление многочленов (или добавим и вычтем 1 в числителе): $\int \frac{x^4 - 1 + 1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1) + 1}{x^2 + 1} dx = \int (x^2 - 1 + \frac{1}{x^2 + 1}) dx$. $\frac{x^3}{3} - x + \arctan(x) + C$.