7.Решите задачу по геометрии. В конус вписан шар. Площадь основания конуса равна 16π см2, радиус шара равен 3 см. Найдите объем конуса.

Для решения задачи сделаем чертеж осевого сечения конуса. В сечении мы увидим равнобедренный треугольник, в который вписана окружность (это большое сечение шара). 1. Дано: - Площадь основания конуса $S_{осн} = 16\pi \text{ см}^2$. - Радиус вписанного шара $r = 3 \text{ см}$. - Объем конуса $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$. 2. Найдем радиус основания конуса $R$: $S_{осн} = \pi R^2 = 16\pi$. $R^2 = 16 \Rightarrow R = 4 \text{ см}$. 3. Рассмотрим осевое сечение конуса: это равнобедренный треугольник с основанием $2R = 8$ и высотой $h$. В него вписана окружность радиусом $r = 3$. Пусть вершина конуса — $A$, центр основания — $O$, точка касания шара с боковой стороной конуса — $K$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK$ (где $AO$ — высота конуса $h$, $AK$ — отрезок до точки касания, $OK = r = 3$ — радиус шара, опущенный в точку касания). Рассмотрим подобные прямоугольные треугольники: треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом $R$ и образующей $L$, и треугольник, образованный отрезком от центра шара до вершины конуса, радиусом шара $r$ и отрезком до точки касания. Из подобия треугольников следует отношение: $\frac{h}{R} = \frac{r}{R'} $ (где $R'$ — расстояние от центра шара до точки касания, что не совсем удобно). Лучше воспользоваться формулой радиуса вписанной окружности в треугольник $r = \frac{S_{тр}}{p}$, где $S_{тр} = R \cdot h$, а полупериметр $p = R + \sqrt{R^2 + h^2}$. $3 = \frac{R \cdot h}{R + \sqrt{R^2 + h^2}} = \frac{4h}{4 + \sqrt{16 + h^2}}$. 4. Решим уравнение относительно $h$: $3(4 + \sqrt{16 + h^2}) = 4h$ $12 + 3\sqrt{16 + h^2} = 4h$ $3\sqrt{16 + h^2} = 4h - 12 = 4(h - 3)$ Возведем обе части в квадрат: $9(16 + h^2) = 16(h - 3)^2$ $144 + 9h^2 = 16(h^2 - 6h + 9)$ $144 + 9h^2 = 16h^2 - 96h + 144$ $7h^2 - 96h = 0$ $h(7h - 96) = 0$ Так как $h \neq 0$, то $7h = 96 \Rightarrow h = \frac{96}{7}$. 5. Вычислим объем конуса: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 16\pi \cdot \frac{96}{7} = 16\pi \cdot \frac{32}{7} = \frac{512\pi}{7} \approx 73.14\pi \text{ см}^3$. **Ответ:** $\frac{512\pi}{7} \text{ см}^3$.