Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 12 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа после этого догнал первого.

Пусть $x$ (км/ч) — скорость третьего велосипедиста. Обозначим $t$ (ч) — время, которое проехал третий велосипедист до встречи со вторым. Второй велосипедист выехал на 1 час раньше третьего, значит, его время в пути равно $t + 1$ (ч). Расстояния, пройденные ими до встречи, равны: $x \cdot t = 10 \cdot (t + 1)$ $x \cdot t = 10t + 10$ $t(x - 10) = 10 \implies t = \frac{10}{x - 10}$ Третий велосипедист догнал первого через 2 часа после встречи со вторым. Значит, его общее время в пути до встречи с первым равно $t + 2$ (ч). Первый велосипедист выехал на 1 час раньше второго, который выехал на 1 час раньше третьего. Значит, первый в пути на 2 часа больше третьего: $(t + 2) + 2 = t + 4$ (ч). Составим уравнение по условию встречи с первым: $x \cdot (t + 2) = 12 \cdot (t + 4)$ Подставим выраженное $t = \frac{10}{x - 10}$: $x \cdot (\frac{10}{x - 10} + 2) = 12 \cdot (\frac{10}{x - 10} + 4)$ $x \cdot (\frac{10 + 2x - 20}{x - 10}) = 12 \cdot (\frac{10 + 4x - 40}{x - 10})$ $x \cdot (2x - 10) = 12 \cdot (4x - 30)$ $2x^2 - 10x = 48x - 360$ $2x^2 - 58x + 360 = 0$ $x^2 - 29x + 180 = 0$ Находим корни уравнения: $D = 29^2 - 4 \cdot 180 = 841 - 720 = 121 = 11^2$ $x_1 = \frac{29 + 11}{2} = 20$ $x_2 = \frac{29 - 11}{2} = 9$ Так как скорость третьего велосипедиста должна быть больше скорости второго ($x > 10$), нам подходит только $x = 20$. **Ответ: 20 км/ч.**