9.13. \int \frac{(x-1)(x^3-1)}{x^2} dx.

Давай разберем эти интегралы по порядку. **9.13.** $\int \frac{(x-1)(x^3-1)}{x^2} dx$ Раскроем скобки: $(x-1)(x^3-1) = x^4 - x - x^3 + 1 = x^4 - x^3 - x + 1$. Разделим почленно на $x^2$: $\int (x^2 - x - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - \ln|x| - \frac{1}{x} + C$. **9.14.** $\int \frac{(x^2+x+1)^2}{x^3} dx$ Раскроем квадрат: $(x^2+x+1)^2 = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1$. Разделим на $x^3$: $\int (x + 2 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}) dx = \frac{x^2}{2} + 2x + 3\ln|x| - \frac{2}{x} - \frac{1}{2x^2} + C$. **9.15.** $\int \frac{x^2-9}{x+3} dx$ Разложим числитель: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. $\int \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} dx = \int (x-3) dx = \frac{x^2}{2} - 3x + C$. **9.16.** $\int \frac{dx}{4x^2-9}$ Это табличный интеграл вида $\int \frac{dx}{a^2x^2-b^2} = \frac{1}{2ab} \ln|\frac{ax-b}{ax+b}| + C$. Здесь $a=2, b=3$: $\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 3} \ln|\frac{2x-3}{2x+3}| + C = \frac{1}{12} \ln|\frac{2x-3}{2x+3}| + C$. **9.17.** $\int \frac{dx}{5-x^2}$ Используем формулу $\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a} \ln|\frac{a+x}{a-x}| + C$. Здесь $a = \sqrt{5}$: $\frac{1}{2\sqrt{5}} \ln|\frac{\sqrt{5}+x}{\sqrt{5}-x}| + C$. **9.18.** $\int \frac{dx}{2x^2+8} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^2+4}$ Формула $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$, где $a=2$: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C = \frac{1}{4} \arctan(\frac{x}{2}) + C$. **9.19.** $\int \frac{dx}{4x^2+1} = \int \frac{dx}{(2x)^2+1}$ $\frac{1}{2} \arctan(2x) + C$. **9.20.** $\int \frac{x^3+9x-2}{x^2+9} dx$ Разделим числитель на знаменатель: $x^3+9x = x(x^2+9)$, поэтому $\frac{x^3+9x}{x^2+9} = x$. Остается интеграл: $\int (x - \frac{2}{x^2+9}) dx = \frac{x^2}{2} - 2 \cdot \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) + C = \frac{x^2}{2} - \frac{2}{3} \arctan(\frac{x}{3}) + C$.