9.13. \int \frac{(x-1)(x^3-1)}{x^2} dx. 9.14. \int \frac{(x^2+x+1)^2}{x^3} dx. 9.15. \int \frac{x^2-9}{x+3} dx. 9.16. \int \frac{dx}{4x^2-9}.

Question

Вопрос:

9.13. \int \frac{(x-1)(x^3-1)}{x^2} dx. 9.14. \int \frac{(x^2+x+1)^2}{x^3} dx. 9.15. \int \frac{x^2-9}{x+3} dx. 9.16. \int \frac{dx}{4x^2-9}.

$9.13. \int \frac{(x-1)(x^3-1)}{x^2} dx. 9.14. \int \frac{(x^2+x+1)^2}{x^3} dx. 9.15. \int \frac{x^2-9}{x+3} dx. 9.16. \int \frac{dx}{4x^2-9}.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Давай решим эти интегралы по порядку. ### 9.13. $\int \frac{(x-1)(x^3-1)}{x^2} dx$ Раскроем скобки: $(x-1)(x^3-1) = x^4 - x - x^3 + 1 = x^4 - x^3 - x + 1$. Теперь разделим каждый член на $x^2$: $\int (x^2 - x - x^{-1} + x^{-2}) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - \ln|x| - \frac{1}{x} + C$. ### 9.14. $\int \frac{(x^2+x+1)^2}{x^3} dx$ Раскроем скобки в числителе: $(x^2+x+1)^2 = x^4 + x^2 + 1 + 2x^3 + 2x^2 + 2x = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1$. Разделим на $x^3$: $\int (x + 2 + 3x^{-1} + 2x^{-2} + x^{-3}) dx = \frac{x^2}{2} + 2x + 3\ln|x| - \frac{2}{x} - \frac{1}{2x^2} + C$. ### 9.15. $\int \frac{x^2-9}{x+3} dx$ Заметим, что $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$. Сократим дробь: $\int (x-3) dx = \frac{x^2}{2} - 3x + C$. ### 9.16. $\int \frac{dx}{4x^2-9}$ Это табличный интеграл вида $\int \frac{dx}{a^2x^2-b^2} = \frac{1}{2ab}\ln|\frac{ax-b}{ax+b}| + C$. Здесь $a=2, b=3$: $\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 3} \ln|\frac{2x-3}{2x+3}| + C = \frac{1}{12} \ln|\frac{2x-3}{2x+3}| + C$.

9.13. \int \frac{(x-1)(x^3-1)}{x^2} dx. 9.14. \int \frac{(x^2+x+1)^2}{x^3} dx. 9.15. \int \frac{x^2-9}{x+3} dx. 9.16. \int \frac{dx}{4x^2-9}.

Ответ ассистента

Другие решения