1. Найдите значение выражения (a^3/2a^3)^-3 при a=5.

Привет! Давай решим задания из твоего варианта. ### 1. Найдите значение выражения $\left(\frac{a^3}{2a^3}\right)^{-3}$ при $a=5$. $\left(\frac{a^3}{2a^3}\right)^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$. **Ответ: 8.** ### 2. Дана функция $y=4^{x-1}-2$. Вычислите $y(1,5)$. $y(1,5) = 4^{1,5-1}-2 = 4^{0,5}-2 = \sqrt{4}-2 = 2-2 = 0$. **Ответ: 0.** ### 3. Упростите $\frac{1+tg^2a}{1+ctg^2a}$. Используем формулы $1+tg^2a = \frac{1}{\cos^2a}$ и $1+ctg^2a = \frac{1}{\sin^2a}$. $\frac{1/\cos^2a}{1/\sin^2a} = \frac{\sin^2a}{\cos^2a} = tg^2a$. **Ответ: $tg^2a$.** ### 4. Решите уравнение $4\cos^2x-3=0$. $4\cos^2x = 3 \Rightarrow \cos^2x = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $\pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.** ### 5. Решите уравнение $9 \cdot 81^{1-2x} = 27^{2-x}$. Приведем к основанию 3: $3^2 \cdot (3^4)^{1-2x} = (3^3)^{2-x}$. $3^{2 + 4 - 8x} = 3^{6 - 3x}$. $6 - 8x = 6 - 3x \Rightarrow 5x = 0 \Rightarrow x = 0$. **Ответ: 0.** ### 6. Решите неравенство $\frac{8x^2-2x-1}{x} < 0$. Корни числителя: $8x^2-2x-1=0$. Дискриминант $D = 4 - 4(8)(-1) = 36$. $x = \frac{2 \pm 6}{16}$. $x_1 = 0,5, x_2 = -0,25$. Интервалы: $(-\infty; -0,25) \cup (0; 0,5)$. **Ответ: $(-\infty; -0,25) \cup (0; 0,5)$.** ### 7. Решите неравенство $\log_3(4-2x)-\log_32 < 3$. $\log_3(\frac{4-2x}{2}) < 3 \Rightarrow \log_3(2-x) < 3$. ОДЗ: $2-x > 0 \Rightarrow x < 2$. $2-x < 3^3 = 27 \Rightarrow -x < 25 \Rightarrow x > -25$. С учетом ОДЗ: $(-25; 2)$. **Ответ: $(-25; 2)$.** ### 8. Решите систему уравнений $\begin{cases} \log_9(x-y)=\frac{1}{2} \\ \log_{64}x - \log_{64}y = \frac{1}{3} \end{cases}$ 1) $x-y = 9^{1/2} = 3 \Rightarrow x = y+3$. 2) $\log_{64}(\frac{x}{y}) = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{x}{y} = 64^{1/3} = 4 \Rightarrow x=4y$. $4y = y+3 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1$. $x = 4(1) = 4$. **Ответ: (4; 1).** ### 9. Найдите производную функции $y=\sin x \cdot (2-3x^4)$. $y' = (\sin x)'(2-3x^4) + \sin x (2-3x^4)'$. $y' = \cos x(2-3x^4) + \sin x (-12x^3)$. **Ответ: $\cos x(2-3x^4) - 12x^3\sin x$.** ### 10. Найдите точки экстремума функции $y=2x^3+9x^2-24x$. $y' = 6x^2+18x-24$. $6(x^2+3x-4)=0 \Rightarrow 6(x+4)(x-1)=0$. Точки экстремума: $x=-4, x=1$. **Ответ: -4, 1.** ### 11. На рисунке график производной. Наибольшее значение функции на $[-6; -1]$. Производная положительна на $(-6; -1)$, так как график $f'(x)$ лежит выше оси $OX$ на этом промежутке. Значит, функция возрастает на всем интервале $[-6; -1]$. Наибольшее значение будет в правой точке: $x=-1$. **Ответ: -1.** ### 12. В $\triangle ABC$ углы $A=20^\circ, C=60^\circ$. Угол между высотой $BH$ и биссектрисой $BD$. Угол $B = 180 - 20 - 60 = 100^\circ$. Биссектриса делит $B$ на $50^\circ$ и $50^\circ$. $\angle ABD = 50^\circ$. В $\triangle ABH$ (прямоугольный): $\angle ABH = 90 - 20 = 70^\circ$. Угол между ними: $|70-50| = 20^\circ$. **Ответ: $20^\circ$.**