27. Геометрическое истолкование дифференциальных уравнений первого порядка и их решений. 28. Интегрирование уравнение: с разделяющимися переменными, однородных, линейных, в полных дифференциалах.

### 27. Геометрическое истолкование дифференциальных уравнений первого порядка и их решений Дифференциальное уравнение первого порядка вида $y' = f(x, y)$ задает в каждой точке $(x, y)$ области определения функции $f$ значение производной $y'$, то есть тангенс угла наклона касательной к искомой интегральной кривой. * **Поле направлений:** Совокупность малых отрезков с заданными наклонами в каждой точке плоскости называется полем направлений. * **Интегральная кривая:** График решения уравнения. В каждой своей точке касательная к этой кривой совпадает с направлением поля в этой точке. * **Изоклины:** Линии, во всех точках которых наклон поля одинаков ($f(x, y) = k$, где $k = const$). ### 28. Интегрирование уравнений: с разделяющимися переменными, однородных, линейных, в полных дифференциалах 1. **Уравнения с разделяющимися переменными:** Имеют вид $M_1(x)N_1(y)dx + M_2(x)N_2(y)dy = 0$. * **Метод:** Переносим слагаемые и делим на выражения так, чтобы переменные разделились: $\frac{M_1(x)}{M_2(x)}dx = -\frac{N_2(y)}{N_1(y)}dy$. Затем интегрируем обе части. 2. **Однородные уравнения:** Имеют вид $y' = f\left(\frac{y}{x}\right)$. * **Метод:** Подстановка $y = ux$, тогда $y' = u'x + u$. После замены уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно $u$ и $x$. 3. **Линейные уравнения:** Имеют вид $y' + P(x)y = Q(x)$. * **Метод (Бернулли):** Подстановка $y = uv$. Уравнение распадается на два уравнения с разделяющимися переменными для нахождения функций $u(x)$ и $v(x)$. 4. **Уравнения в полных дифференциалах:** Имеют вид $P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$ при условии $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$. * **Метод:** Левая часть является полным дифференциалом некоторой функции $U(x, y)$. Решение находится интегрированием: $U(x, y) = \int P(x, y)dx + \varphi(y) = C$.