1. Вычислить неопределенный интеграл ∫ x^2 dx / sqrt(1+x^6)

Привет! Давай разберем твой экзаменационный билет. ### 1. Вычисление неопределенного интеграла $\int \frac{x^2 dx}{\sqrt{1+x^6}}$ Заметим, что $x^6 = (x^3)^2$. Сделаем замену: $t = x^3$, тогда $dt = 3x^2 dx$, следовательно $x^2 dx = \frac{1}{3} dt$. Интеграл принимает вид: $\int \frac{1}{3} \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{1}{3} \ln |t + \sqrt{1+t^2}| + C$ Возвращаясь к переменной $x$: $\frac{1}{3} \ln |x^3 + \sqrt{1+x^6}| + C$ --- ### 2. Нахождение производных в) $y = \operatorname{arctg} \frac{1}{x-1}$ Используем формулу $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{1}{1+u^2} \cdot u'$. $y' = \frac{1}{1 + (\frac{1}{x-1})^2} \cdot (\frac{1}{x-1})' = \frac{1}{1 + \frac{1}{(x-1)^2}} \cdot (-(x-1)^{-2}) = \frac{(x-1)^2}{(x-1)^2 + 1} \cdot \frac{-1}{(x-1)^2} = -\frac{1}{x^2 - 2x + 2}$ г) $y = 5^{\sqrt{x}} - x^2 \operatorname{tg} 2x$ Производная разности равна разности производных. Для первого слагаемого $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$. $y' = 5^{\sqrt{x}} \ln 5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - (2x \operatorname{tg} 2x + x^2 \cdot \frac{1}{\cos^2 2x} \cdot 2) = \frac{5^{\sqrt{x}} \ln 5}{2\sqrt{x}} - 2x \operatorname{tg} 2x - \frac{2x^2}{\cos^2 2x}$ --- ### 3. Нахождение решения дифференциального уравнения $y' + y = \frac{e^{-x}}{1+x^2}$, при $y(0) = 2$ Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида $y' + P(x)y = Q(x)$. Интегрирующий множитель $\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$. Умножим обе части на $e^x$: $e^x y' + e^x y = e^x \frac{e^{-x}}{1+x^2}$ $(e^x y)' = \frac{1}{1+x^2}$ Интегрируем: $e^x y = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \operatorname{arctg} x + C$ $y = e^{-x}(\operatorname{arctg} x + C)$ Используем начальное условие $y(0) = 2$: $2 = e^0(\operatorname{arctg} 0 + C) \Rightarrow 2 = 1 \cdot (0 + C) \Rightarrow C = 2$. **Ответ:** $y = e^{-x}(\operatorname{arctg} x + 2)$.