1. Производная функции у = 0,75х^4 - 2 cosx равна:

Привет! Давай разберем эти задания на производную. Они все на применение правил дифференцирования. ### 1. Производная функции $y = 0{,}75x^4 - 2\cos x$ Используем правило: $(ax^n)' = anx^{n-1}$ и $(\cos x)' = -\sin x$. $y' = 0{,}75 \cdot 4 \cdot x^3 - 2 \cdot (-\sin x) = 3x^3 + 2\sin x$. **Ответ: 4** ### 2. Производная функции $y = 2x - x^2 + \sqrt{x}$ в точке $x_0 = 9$ Найдем общую производную: $y' = 2 - 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Подставим $x_0 = 9$: $y'(9) = 2 - 2(9) + \frac{1}{2\sqrt{9}} = 2 - 18 + \frac{1}{2 \cdot 3} = -16 + \frac{1}{6} = -15\frac{5}{6}$. *Примечание: В вариантах ответа опечатка (вероятно, имелось в виду $-15\frac{5}{6}$ или неверно указано условие), но ближайший логический ответ по арифметике с дробью — $2 - 18 + 1/6 = -15 5/6$. Если смотреть на варианты, где есть $-16+1/6$, то это $-15 5/6$. Возможно, в условии ошибка в знаке или коэффициенте, но исходя из написанного, $-15 5/6$. Если нужно выбрать из предложенного списка, проверь условие.* ### 3. Решите уравнение $y'(x) = 0$, если $y(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ Используем правило производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $u=3x, u'=3$ $v=x^2+1, v'=2x$ $y' = \frac{3(x^2+1) - 3x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{3 - 3x^2}{(x^2+1)^2}$. Дробь равна 0, когда числитель равен 0: $3 - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. **Ответ: 4** ### 4. Скорость точки $S(t) = 3t + 7 + 0{,}5t^2$, когда $v = 15$ м/с Скорость — это производная пути по времени: $v(t) = S'(t) = 3 + 0{,}5 \cdot 2t = 3 + t$. По условию $v(t) = 15$: $3 + t = 15 \Rightarrow t = 12$. **Ответ: 3** ### 5. Прямая $y = -4x + 11$ — касательная к $y = x^2 + 6x + 2$. Найдите абсциссу точки касания Угловой коэффициент касательной $k = -4$. Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту: $y' = 2x + 6$. $2x + 6 = -4 \Rightarrow 2x = -10 \Rightarrow x = -5$. **Ответ: 4** ### 6. Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной $k = \tan \alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Возьмем две точки на прямой, например, $(0; 1)$ и $(4; 0)$. $k = \frac{0 - 1}{4 - 0} = -\frac{1}{4} = -0{,}25$. **Ответ: 2**