Задание 8. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость. Решение поясните геометрически.

Для вычисления несобственного интеграла $\int_0^\infty e^{-x} \sin x \, dx$ воспользуемся определением предела: $$\int_0^\infty e^{-x} \sin x \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b e^{-x} \sin x \, dx$$ Интеграл $\int e^{-x} \sin x \, dx$ берется методом интегрирования по частям дважды или методом неопределенных коэффициентов. Первообразная функции $e^{-x} \sin x$ равна: $$-\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C$$ Теперь применим предельный переход: $$\lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) \right]_0^b = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{2} e^{-b} (\sin b + \cos b) - \left( -\frac{1}{2} e^0 (\sin 0 + \cos 0) \right) \right)$$ Так как $\lim_{b \to \infty} e^{-b} = 0$, а множитель $(\sin b + \cos b)$ ограничен (лежит в пределах от $-\sqrt{2}$ до $\sqrt{2}$), то предел слагаемого с $e^{-b}$ равен нулю. Получаем: $$0 - (-\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (0 + 1)) = \frac{1}{2}$$ Интеграл сходится, его значение равно $\frac{1}{2}$. Геометрически этот интеграл равен площади под кривой $f(x) = e^{-x} \sin x$ на промежутке от $0$ до $\infty$. Из-за множителя $e^{-x}$ амплитуда затухающих колебаний синусоиды стремится к нулю, поэтому площадь под графиком ограничена и интеграл сходится. :::div .chart-container @chart-1:::