3.124. Изобразите общий перпендикуляр скрещивающихся прямых: а) диагонали куба и диагонали его грани; б) диагонали и ребра куба.

Для решения этой задачи рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (где $ABCD$ — нижнее основание, $A_1B_1C_1D_1$ — верхнее). Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым — это отрезок, концы которого лежат на этих прямых и который перпендикулярен каждой из них. а) Диагональ куба $AC_1$ и диагональ грани $BD$. Эти прямые скрещивающиеся. Общий перпендикуляр к ним — это отрезок $OK$, где $O$ — центр грани $ABCD$ (пересечение диагоналей $AC$ и $BD$), а $K$ — точка на диагонали $AC_1$. В частности, это отрезок, соединяющий центр грани и точку на диагонали куба, который перпендикулярен обеим прямым. В данном случае это будет отрезок $OK$, где $K$ лежит на $AC_1$, а $O$ — пересечение диагоналей основания. Точнее, если рассмотреть сечение плоскостью, проходящей через $AC_1$ и $BD$ (это сечение $ACC_1A_1$), то общий перпендикуляр будет лежать в этой плоскости. б) Диагональ куба $AC_1$ и ребро куба $BB_1$. Эти прямые скрещивающиеся. Общим перпендикуляром будет отрезок, соединяющий точки на этих прямых и перпендикулярный им. В данном случае это отрезок $MB$, где $M$ — проекция точки $B$ на диагональ $AC_1$. Поскольку ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания, то искомый перпендикуляр лежит в плоскости, проходящей через $AC_1$ и $B$.