В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60°.

Давай разберем задачи из КР № 16, так как они стандартны для школьного курса. ### Решение задач КР № 16 Дана правильная четырехугольная пирамида $MABCD$ со стороной основания $a = 6$ и боковым ребром $b = 5$. 1. **Площадь боковой поверхности** Сначала найдем апофему $l$ (высоту боковой грани). Высота основания из центра к стороне равна $a/2 = 3$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой грани, половиной стороны основания и боковым ребром: $l = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$. Боковая поверхность $S_{бок} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot l) = 2 \cdot 6 \cdot 4 = 48$. 2. **Объем пирамиды** Высота пирамиды $H$ находится из прямоугольного треугольника (высота пирамиды, радиус вписанной окружности основания и боковое ребро): Радиус $r = a/2 = 3$. $H = \sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7}$. (Здесь $3\sqrt{2}$ — расстояние от центра до вершины основания). Объем $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot \sqrt{7} = 12\sqrt{7}$. 3. **Угол наклона боковой грани к плоскости основания** Пусть это угол $\alpha$. В треугольнике: катет $H = \sqrt{7}$, прилежащий катет (радиус вписанной окружности) $r = 3$. $\tan \alpha = \frac{H}{r} = \frac{\sqrt{7}}{3}$. $\alpha = \arctan(\frac{\sqrt{7}}{3})$. 4. **Скалярное произведение $(\vec{AD} + \vec{AB}) \cdot \vec{AM}$** По правилу параллелограмма $\vec{AD} + \vec{AB} = \vec{AC}$. Тогда нужно найти $\vec{AC} \cdot \vec{AM}$. $\vec{AC} \cdot \vec{AM} = |AC| \cdot |AM| \cdot \cos(\angle MAC)$. $|AC| = 6\sqrt{2}$, $|AM| = 5$. Угол $\angle MAC$ — это угол между диагональю основания и боковым ребром. Это половина угла между боковыми ребрами (но проще через координаты или проекции). Проекция $AM$ на плоскость основания — это $AO = \frac{1}{2}AC = 3\sqrt{2}$. Скалярное произведение равно проекции вектора $\vec{AM}$ на $\vec{AC}$, умноженной на длину $AC$: $|AM| \cdot \cos(\angle MAC) = |AO| = 3\sqrt{2}$. Итого: $6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 36$. 5. **Площадь описанной сферы** Центр сферы лежит на оси пирамиды. Радиус $R$. $R^2 = (H-R)^2 + r_{окр}^2$, где $r_{окр}$ — радиус описанной окружности основания ($3\sqrt{2}$). $R^2 = H^2 - 2HR + R^2 + (3\sqrt{2})^2$. $2HR = H^2 + 18 \Rightarrow 2\sqrt{7}R = 7 + 18 = 25 \Rightarrow R = \frac{25}{2\sqrt{7}}$. Площадь $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \frac{625}{4 \cdot 7} = \frac{625\pi}{7}$. 6. **Угол между $BD$ и плоскостью $DMC$** $BD$ параллельна плоскости $AMC$, но не лежит в $DMC$. Задача сводится к поиску расстояния от точки $B$ до плоскости $DMC$ и использованию синуса угла. Угол $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = \frac{3\sqrt{7}}{7 \cdot \sqrt{13}}$ (примерный ход решения через метод координат или перпендикуляр из $O$ на $MC$).