601. Записать уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну кривой r = r(t) = (t - sin t)i + (1 - cos t)j + 2sin t k в точке t0 = pi/2.

Для решения задачи №601 необходимо найти координаты точки, вектор скорости (касательный вектор) и вектор ускорения при $t_0 = \frac{\pi}{2}$. **1. Координаты точки $M_0$:** $x_0 = \frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1$ $y_0 = 1 - \cos\frac{\pi}{2} = 1 - 0 = 1$ $z_0 = 2\sin\frac{\pi}{2} = 2$ $M_0(\frac{\pi}{2}-1; 1; 2)$ **2. Направляющий вектор касательной $\vec{\tau} = \vec{r}'(t_0)$:** $\vec{r}'(t) = (1 - \cos t)\vec{i} + (\sin t)\vec{j} + (2\cos t)\vec{k}$ $\vec{a} = \vec{r}'(\frac{\pi}{2}) = (1 - 0)\vec{i} + 1\vec{j} + 0\vec{k} = (1; 1; 0)$ **3. Уравнение касательной:** $\frac{x - (\frac{\pi}{2} - 1)}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{0}$ **4. Уравнение нормальной плоскости:** $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ $1(x - \frac{\pi}{2} + 1) + 1(y - 1) + 0(z - 2) = 0 \Rightarrow x + y - \frac{\pi}{2} = 0$ **5. Вычисление кривизны $K = \frac{|\vec{r}' \times \vec{r}''|}{|\vec{r}'|^3}$:** $\vec{r}''(t) = (\sin t)\vec{i} + (\cos t)\vec{j} - (2\sin t)\vec{k}$ $\vec{r}''(\frac{\pi}{2}) = (1; 0; -2)$ Векторное произведение $\vec{r}' \times \vec{r}''$: $\vec{r}' \times \vec{r}'' = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = -2\vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k} \Rightarrow |\vec{r}' \times \vec{r}''| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = 3$ $|\vec{r}'| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ $K = \frac{3}{(\sqrt{2})^3} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$ **Ответ:** Касательная: $\frac{x - \pi/2 + 1}{1} = \frac{y - 1}{1}, z=2$; Плоскость: $x + y - \frac{\pi}{2} = 0$; $K = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.