Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1, y = 7 + x.

Привет! Давай решим эти задачи. ### Задача 9 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 + 1$ и $y = 7 + x$. 1. Найдем точки пересечения графиков, приравняв функции: $x^2 + 1 = 7 + x$ $x^2 - x - 6 = 0$ По теореме Виета корни: $x_1 = -2, x_2 = 3$. 2. Площадь вычисляется через определенный интеграл разности функций (верхняя минус нижняя): $S = \int_{-2}^{3} ((7 + x) - (x^2 + 1)) dx = \int_{-2}^{3} (6 + x - x^2) dx$ 3. Вычислим интеграл: $S = [6x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{3}$ $S = (6(3) + \frac{9}{2} - \frac{27}{3}) - (6(-2) + \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3})$ $S = (18 + 4.5 - 9) - (-12 + 2 + \frac{8}{3})$ $S = 13.5 - (-10 + 2.666...) = 13.5 - (-7.333...) = 13.5 + 7.333... = 20.833... = 20\frac{5}{6}$ **Ответ: 20\frac{5}{6}** ### Задача 10 В параллелепипеде (прямоугольном) длина основания $a = 5$, ширина $b = 3$, диагональ $d = 5\sqrt{2}$. Найти объем $V$. 1. Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$, где $c$ — высота. 2. Подставим значения: $(5\sqrt{2})^2 = 5^2 + 3^2 + c^2$ $25 \cdot 2 = 25 + 9 + c^2$ $50 = 34 + c^2$ $c^2 = 16 \Rightarrow c = 4$ 3. Объем параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60$ **Ответ: 60**