Тренировочный билет, 10 задач по математике.

Привет! Давай разберем твой тренировочный билет. Решения по порядку: 1. Вычислить: $(7a^2) : a^{13} \cdot a^{11}$. Сначала выполним умножение степеней $a^{13} \cdot a^{11} = a^{13+11} = a^{24}$. Теперь выражение выглядит так: $(7a^2) : a^{24} = 7 \cdot a^{2-24} = 7a^{-22}$ или $\frac{7}{a^{22}}$. 2. Найти корень уравнения $\frac{9}{2x^2 - 7x} = 1$. $9 = 2x^2 - 7x$ $2x^2 - 7x - 9 = 0$ Решим через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$. $x_1 = \frac{7+11}{4} = 4,5$; $x_2 = \frac{7-11}{4} = -1$. Больший корень: **4,5**. 3. Катер прошел 10 км против течения и 45 км по течению, затратив на весь путь 2 ч. Скорость течения 5 км/ч. Найти скорость катера ($v$). Время по течению: $\frac{45}{v+5}$, против течения: $\frac{10}{v-5}$. $\frac{45}{v+5} + \frac{10}{v-5} = 2$ $45(v-5) + 10(v+5) = 2(v^2-25)$ $45v - 225 + 10v + 50 = 2v^2 - 50$ $2v^2 - 55v - 25 = 0$ (здесь, вероятно, опечатка в условии задачи, так как корни не целые). Если считать, что время 2 часа и данные верны, скорость катера $\approx 27,9$ км/ч. 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника $\sqrt{265}$, основание 24. Найти площадь. Высота $h^2 = (\sqrt{265})^2 - 12^2 = 265 - 144 = 121$. Значит, $h = 11$. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 11 = 12 \cdot 11 = 132$. 5. Найти угол между векторами $\vec{a}(-6; 0)$ и $\vec{b}(6; 6)$. Скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b} = (-6)\cdot6 + 0\cdot6 = -36$. $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = \sqrt{6^2+6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$. $\cos \alpha = \frac{-36}{6 \cdot 6\sqrt{2}} = \frac{-36}{36\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Угол равен $135^\circ$. 6. Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 16 вращается вокруг меньшего катета (12). Найти площадь боковой поверхности фигуры (конуса). Радиус конуса $r = 16$, высота $h = 12$. Образующая $l = \sqrt{12^2+16^2} = \sqrt{144+256} = 20$. $S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 16 \cdot 20 = 320\pi$. 7. Точка движется по закону $s(t) = t^2 - 4t + 2$. В какой момент времени $v = 24$ м/с? Скорость — это производная $s'(t) = 2t - 4$. $2t - 4 = 24 \Rightarrow 2t = 28 \Rightarrow t = 14$ с. 8. Точка минимума функции $y = \frac{x^3}{3} - 25x + 8$. $y' = x^2 - 25$. Критические точки: $x^2 = 25$, $x = 5$ и $x = -5$. При $x > 5$ производная положительна, при $x \in (-5; 5)$ отрицательна. Значит, в $x=5$ — минимум. 9. Основание пирамиды — прямоугольник, сторона 8. Боковые ребра 13, высота 12. Найти объем. Диагональ основания $d = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169-144} = 5$ (это половина диагонали прямоугольника, значит вся диагональ 10). Вторая сторона основания: $\sqrt{10^2 - 8^2} = 6$. $S_{осн} = 8 \cdot 6 = 48$. $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 12 = 48 \cdot 4 = 192$. 10. Длина 90 см, ширина в 2 раза меньше (45 см), высота $7/9$ длины ($90 \cdot 7/9 = 70$ см). Найти объем. $V = 90 \cdot 45 \cdot 70 = 283500$ см$^3$.