Вычислить определённый интеграл:

Давай разберем эти определенные интегралы. Для решения используем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$. 1) $\int_2^3 (4x-6)dx = [2x^2 - 6x]_2^3 = (2 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3) - (2 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2) = (18 - 18) - (8 - 12) = 0 - (-4) = 4$ 2) $\int_0^1 (3x^2 - 12x^5 + 14)dx = [x^3 - 2x^6 + 14x]_0^1 = (1 - 2 + 14) - 0 = 13$ 3) $\int_1^2 ((4x+16) - (12x^2 - 16x))dx = \int_1^2 (-12x^2 + 20x + 16)dx = [-4x^3 + 10x^2 + 16x]_1^2 = (-4 \cdot 8 + 10 \cdot 4 + 16 \cdot 2) - (-4 + 10 + 16) = (-32 + 40 + 32) - 22 = 40 - 22 = 18$ 4) $\int_1^3 (4x - \frac{4}{x})dx = [2x^2 - 4\ln|x|]_1^3 = (2 \cdot 9 - 4\ln 3) - (2 \cdot 1 - 4\ln 1) = 18 - 4\ln 3 - 2 = 16 - 4\ln 3$ 5) $\int_1^2 (x-2)(x+4)dx = \int_1^2 (x^2 + 2x - 8)dx = [\frac{x^3}{3} + x^2 - 8x]_1^2 = (\frac{8}{3} + 4 - 16) - (\frac{1}{3} + 1 - 8) = (\frac{8}{3} - 12) - (\frac{1}{3} - 7) = \frac{7}{3} - 5 = \frac{7-15}{3} = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$ 6) $\int_1^2 \frac{4}{x^2}dx = \int_1^2 4x^{-2}dx = [\frac{4x^{-1}}{-1}]_1^2 = [-\frac{4}{x}]_1^2 = -\frac{4}{2} - (- \frac{4}{1}) = -2 + 4 = 2$ 7) $\int_0^1 \sqrt[7]{x^4}dx = \int_0^1 x^{4/7}dx = [\frac{x^{11/7}}{11/7}]_0^1 = [\frac{7}{11}x^{11/7}]_0^1 = \frac{7}{11} - 0 = \frac{7}{11}$ 8) $\int_0^3 e^{6x-6}dx = [\frac{1}{6}e^{6x-6}]_0^3 = \frac{1}{6}e^{12} - \frac{1}{6}e^{-6} = \frac{e^{12} - e^{-6}}{6}$ 9) $\int_0^{\pi/3} \sin(6x + \frac{\pi}{3})dx = [-\frac{1}{6}\cos(6x + \frac{\pi}{3})]_0^{\pi/3} = (-\frac{1}{6}\cos(2\pi + \frac{\pi}{3})) - (-\frac{1}{6}\cos(\frac{\pi}{3})) = (-\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2}) - (-\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2}) = -\frac{1}{12} + \frac{1}{12} = 0$ 10) $\int_1^2 \frac{(x^2-2x-24)(x+8)}{x-6}dx$. Заметим, что $x^2-2x-24 = (x-6)(x+4)$. Тогда подынтегральное выражение: $\frac{(x-6)(x+4)(x+8)}{x-6} = (x+4)(x+8) = x^2 + 12x + 32$. $\int_1^2 (x^2+12x+32)dx = [\frac{x^3}{3} + 6x^2 + 32x]_1^2 = (\frac{8}{3} + 24 + 64) - (\frac{1}{3} + 6 + 32) = (\frac{8}{3} + 88) - (\frac{1}{3} + 38) = \frac{7}{3} + 50 = 2\frac{1}{3} + 50 = 52\frac{1}{3}$