Решите уравнение $\log_5(2x+3) = \log_{0.2}(x+1)$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Для решения логарифмического уравнения $\log_5(2x+3) = \log_{0.2}(x+1)$ выполним следующие шаги: 1. Преобразуем основание второго логарифма. Так как $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, то: $\log_{0.2}(x+1) = \log_{5^{-1}}(x+1) = -\log_5(x+1) = \log_5((x+1)^{-1}) = \log_5(\frac{1}{x+1})$ 2. Теперь уравнение принимает вид: $\log_5(2x+3) = \log_5(\frac{1}{x+1})$ 3. Потенцируем (отбрасываем логарифмы), учитывая область допустимых значений (ОДЗ): $2x+3 > 0$ и $x+1 > 0$ $\Rightarrow x > -1$ $2x+3 = \frac{1}{x+1}$ 4. Решаем полученное уравнение: $(2x+3)(x+1) = 1$ $2x^2 + 2x + 3x + 3 = 1$ $2x^2 + 5x + 2 = 0$ 5. Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$ $x_1 = \frac{-5+3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ $x_2 = \frac{-5-3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$ 6. Проверим корни по ОДЗ ($x > -1$): $x_1 = -0.5$ подходит, так как $-0.5 > -1$. $x_2 = -2$ не подходит, так как $-2 < -1$. Так как корень только один, он и является ответом. **Ответ: -0.5**