Найдите sin, cos, tg, ctg заданного числа t

### 1. Найдите sin, cos, tg, ctg для заданных углов: **а) $t = \frac{5\pi}{3}$** - $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ - $\operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$ - $\operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ **б) $t = \frac{11\pi}{2} = 5\pi + \frac{\pi}{2} = 2\pi \cdot 2 + \pi + \frac{\pi}{2} = 5\frac{1}{2}\pi$ (эквивалентно $\frac{3\pi}{2}$)** - $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$ - $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$ - $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ — не определен - $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$ **в) $t = \frac{37\pi}{6} = 6\pi + \frac{\pi}{6}$ (эквивалентно $\frac{\pi}{6}$)** - $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ - $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ - $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$ --- ### 2. Решить тригонометрические уравнения: **а) $\sin(2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$** $2x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $2x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi n$ $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$ **б) $\operatorname{ctg}(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3}$** $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{5\pi}{12} + \pi n$ $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ --- ### 3. Найдите корни уравнений: **а) $\sqrt[3]{x - 5} = 4$** $x - 5 = 4^3$ $x - 5 = 64$ $x = 69$ **б) $3^{x-3} = 3^{2x+5}$** $x - 3 = 2x + 5$ $x - 2x = 5 + 3$ $-x = 8$ $x = -8$ --- ### 4. Решите логарифмические уравнения: **а) $\log_4(3x - 5) = \log_4(13 - 7x)$** Область определения: $3x-5 > 0 \Rightarrow x > 5/3$ и $13-7x > 0 \Rightarrow x < 13/7$. $3x - 5 = 13 - 7x$ $10x = 18$ $x = 1,8$ (условие $5/3 < 1,8 < 13/7$ выполняется: $1,66 < 1,8 < 1,85$) **б) $\log_2(x^2 - 4) = 5$** $x^2 - 4 = 2^5 = 32$ $x^2 = 36$ $x = 6$ или $x = -6$ (Проверка: $\log_2(36-4) = \log_2(32) = 5$ — верно для обоих) --- ### 5. Вычислите приближенные значения ($f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$): **а) $\sqrt{9,1}$ ($x_0=9, f(x)=\sqrt{x}$)** $f(9) = 3, f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, f'(9) = \frac{1}{6}$ $\sqrt{9,1} \approx 3 + \frac{1}{6} \cdot 0,1 = 3 + 0,0167 \approx 3,0167$ **б) $\frac{1}{1,91}$ ($x_0=2, f(x)=\frac{1}{x}$)** $f(2) = 0,5, f'(x) = -\frac{1}{x^2}, f'(2) = -\frac{1}{4} = -0,25$ $\frac{1}{1,91} \approx 0,5 - 0,25 \cdot (1,91 - 2) = 0,5 - 0,25 \cdot (-0,09) = 0,5 + 0,0225 = 0,5225$ **в) $2,97^2$ ($x_0=3, f(x)=x^2$)** $f(3) = 9, f'(x) = 2x, f'(3) = 6$ $2,97^2 \approx 9 + 6 \cdot (2,97 - 3) = 9 + 6 \cdot (-0,03) = 9 - 0,18 = 8,82$ --- ### 6. Вычислить производные: **а) $y = x^5 - 3x^4 + 2x^3 - 4x^2 + 3$** $y' = 5x^4 - 12x^3 + 6x^2 - 8x$ **б) $y = \frac{2}{x} - 3\sqrt{x} - 2\operatorname{tg} x + 6\cos x$** $y' = -\frac{2}{x^2} - \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{\cos^2 x} - 6\sin x$ **в) $y = \frac{x^4 - 5\sin x}{7 - 2x}$** $y' = \frac{(4x^3 - 5\cos x)(7 - 2x) - (x^4 - 5\sin x)(-2)}{(7 - 2x)^2} = \frac{28x^3 - 8x^4 - 35\cos x + 10x\cos x + 2x^4 - 10\sin x}{(7 - 2x)^2} = \frac{-6x^4 + 28x^3 + 10x\cos x - 35\cos x - 10\sin x}{(7 - 2x)^2}$ --- ### 7. Задача на оптимизацию: Периметр прямоугольника $P = 2(a + b) = 40 \Rightarrow a + b = 20$. Площадь $S = a \cdot b = a(20 - a) = 20a - a^2$. Найдем максимум, взяв производную: $S' = 20 - 2a = 0 \Rightarrow a = 10$. Тогда $b = 20 - 10 = 10$. Стороны должны быть по 10 метров (квадрат).