1. (4 балла) Вычислите: 1) 36^0.5 * 125^1/3 - 8^1/3;

1. Вычисления: 1) $36^{0.5} \times 125^{1/3} - 8^{1/3} = 6 \times 5 - 2 = 30 - 2 = 28$ 2) $\log_3 8 - \log_3 24 = \log_3(8/24) = \log_3(1/3) = -1$ 3) $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt{625}} = \frac{2}{25} = 0.08$ 4) $2 \sin(\pi/6) + 4 \cos(\pi/2) = 2 \times 0.5 + 4 \times 0 = 1 + 0 = 1$ 2. Решите уравнения: 1) $\sqrt{2x-6} = 4 \implies 2x-6 = 16 \implies 2x = 22 \implies x = 11$ 2) $2 \sin x = 1 \implies \sin x = 0.5 \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 3) $\log_7(4x-1) = 1 \implies 4x-1 = 7^1 \implies 4x = 8 \implies x = 2$ 4) $\log^5 -2x = 0.09$ (Вероятно опечатка в условии, логически может быть $\log_5(-2x) = 0$ или другое уравнение, без уточнений невозможно решить точно). 3. Решите неравенство: 1) $27^x \ge (1/3)^{x+2} \implies (3^3)^x \ge (3^{-1})^{x+2} \implies 3^{3x} \ge 3^{-x-2} \implies 3x \ge -x-2 \implies 4x \ge -2 \implies x \ge -0.5$ 2) $(6-x)(x+1) > 0 \implies (x-6)(x+1) < 0$. Интервалы: $(-1; 6)$ 3) $\log_{0.2}(x-1) > \log_{0.2} 2$. Основание $0.2 < 1$, знак меняется: $x-1 < 2 \implies x < 3$. С учетом ОДЗ ($x-1 > 0 \implies x > 1$): $1 < x < 3$. 5. Найдите производную: 1) $f'(x) = (3x^2 - 2x^3 + 6)' = 6x - 6x^2$ 2) $f'(x) = (x^2 e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x = x e^x(2+x)$ 6. Первообразные: 1) $F(x) = \int (5x^4 - 2x^{-1/2}) dx = x^5 - 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^5 - 4\sqrt{x} + C$ 2) $F(x) = 3 \sin x - 4x + C$ 7. Процент скидки: $(250-170)/250 \times 100\% = 80/250 \times 100\% = 32\%$. 9. Пирамида: Угол между апофемой и основанием $60^\circ$, высота $h=6$. В прямоугольном треугольнике (высота, апофема, проекция на основание) $h = a \cdot \sin(60^\circ) \implies a = 6 / (\sqrt{3}/2) = 12/\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$. Это высота грани (апофема). Если «высота пирамиды 6 см» - катет, то проекция апофемы на основание $x = 6/\tan(60^\circ) = 6/\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. Если пирамида правильная четырехугольная, сторона основания $a = 2x = 4\sqrt{3}$. Площадь основания $S = a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 48$. Площадь полной поверхности требует боковой площади, данных для нее мало. 10. $x(t) = -t^2 + 5t - 8$. Скорость $v(t) = x'(t) = -2t + 5$. При $v=3$: $-2t+5=3 \implies -2t=-2 \implies t=1$ с. 11. Доход после налога: $4000 \times (1 - 0.13) = 3480$ руб. Роза стоит 50 руб. $3480 / 50 = 69.6$. Максимум 69 роз. Букет должен состоять из нечетного числа цветов, значит, 69 роз подходит. 12. $\cos 2x + 5 \sin x + 2 = 0 \implies 1-2\sin^2 x + 5 \sin x + 2 = 0 \implies 2\sin^2 x - 5 \sin x - 3 = 0$. Пусть $t = \sin x$, $2t^2 - 5t - 3 = 0$. $D = 25 - 4(2)(-3) = 49$. $t = (5 \pm 7)/4$. $t_1 = 3$ (не подходит), $t_2 = -0.5$. $\sin x = -0.5 \implies x = (-1)^{k+1}\pi/6 + \pi k$. 13. $F(x) = \int (5x^2 - 4x + 1) dx = \frac{5}{3}x^3 - 2x^2 + x + C$. Через (0,0) $\implies C=0$. $F(x) = \frac{5}{3}x^3 - 2x^2 + x$.