1. Найти сумму корней уравнения, принадлежащих промежутку $[-\pi; \pi]$: $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$.

Привет! Давай разберем задания из твоего билета по математике. ### 1. Решение уравнения $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$ на $[-\pi; \pi]$ Разделим обе части на $\cos x$ (так как $\cos x = 0$ не является решением): $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$ $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ На промежутке $[-\pi; \pi]$ подходят корни: при $k=0: x_1 = \frac{\pi}{3}$ при $k=-1: x_2 = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$ Сумма корней: $\frac{\pi}{3} + (-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3}$. **Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.** ### 2. Асимптоты функции $y = \frac{-8x^2 + 4}{x}$ Упростим выражение: $y = -8x + \frac{4}{x}$. - Вертикальная асимптота: при $x \to 0$, $y \to \infty$, значит $x=0$ — вертикальная асимптота. - Наклонная асимптота: при $x \to \pm\infty$, дробь $\frac{4}{x} \to 0$, график приближается к прямой $y = -8x$. Это наклонная асимптота. **Ответ: $x=0$ (вертикальная), $y=-8x$ (наклонная).** ### 3. Неравенство $\log_{2} x^2 + \log_{2} (x + 3)^2 > 2$ ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq -3$. $\log_{2} (x^2(x+3)^2) > \log_{2} 4$ $x^2(x+3)^2 > 4$ $(x(x+3))^2 > 2^2$ $|x^2 + 3x| > 2$ Случай 1: $x^2 + 3x > 2 \Rightarrow x^2 + 3x - 2 > 0$. Корни: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$. Решение: $(-\infty; \frac{-3-\sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-3+\sqrt{17}}{2}; +\infty)$. Случай 2: $x^2 + 3x < -2 \Rightarrow x^2 + 3x + 2 < 0 \Rightarrow (x+1)(x+2) < 0$. Решение: $(-2; -1)$. Учитывая ОДЗ ($x \neq 0, -3$), объединяем интервалы. **Ответ: $(-\infty; \frac{-3-\sqrt{17}}{2}) \cup (-2; -1) \cup (\frac{-3+\sqrt{17}}{2}; 0) \cup (0; +\infty)$.** ### 4. Площадь фигуры: $y = (x+2)^2$ и $y = x+2$ Точки пересечения: $(x+2)^2 = x+2 \Rightarrow x^2 + 4x + 4 = x + 2 \Rightarrow x^2 + 3x + 2 = 0$. Корни $x_1 = -2, x_2 = -1$. На интервале $(-2; -1)$ прямая $y=x+2$ выше параболы $y=(x+2)^2$. $S = \int_{-2}^{-1} (x + 2 - (x+2)^2) dx = \int_{-2}^{-1} (-x^2 - 3x - 2) dx = [-\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 2x]_{-2}^{-1} = (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) - (\frac{8}{3} - 6 + 4) = \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$. **Ответ: $1/6$.** ### 5. Прямой параллелепипед Задание не содержит условий (чисел или вопроса). Недостаточно данных для решения.