5. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если AC1 = 12см и диагональ BD1 составляет с плоскостью грани AA1D1D угол в 30°, а с ребром DD1 — угол в 45°.

Для решения задачи обозначим стороны прямоугольного параллелепипеда как $AB = a$, $AD = b$, $AA_1 = c$. Тогда $AC_1^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 12^2 = 144$. 1. Диагональ $BD_1$ составляет с плоскостью грани $AA_1D_1D$ угол $30^\circ$. Проекцией диагонали $BD_1$ на эту грань является отрезок $D_1A$ (так как $BA \perp AA_1D_1D$). Угол между $BD_1$ и проекцией $D_1A$ равен углу $\angle BD_1A = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABD_1$: $AB = BD_1 \cdot \sin 30^\circ = BD_1 \cdot 0.5$. Также $BD_1^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 144$, значит $BD_1 = 12$. Тогда $a = 12 \cdot 0.5 = 6$ см. 2. Диагональ $BD_1$ составляет с ребром $DD_1$ угол $45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $BD_1D$ ($BD \perp DD_1$): $\angle BD_1D = 45^\circ$. Тогда $\tan 45^\circ = \frac{BD}{DD_1} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{c} = 1$. Значит, $a^2 + b^2 = c^2$. 3. Подставим в уравнение диагонали: $(a^2 + b^2) + c^2 = 144 \Rightarrow c^2 + c^2 = 144 \Rightarrow 2c^2 = 144 \Rightarrow c^2 = 72 \Rightarrow c = 6\sqrt{2}$ см. 4. Теперь найдем $b$. Мы знаем $a = 6$, $c^2 = 72$. Из $a^2 + b^2 = c^2$ получаем: $6^2 + b^2 = 72 \Rightarrow 36 + b^2 = 72 \Rightarrow b^2 = 36 \Rightarrow b = 6$ см. **Ответ:** Измерения параллелепипеда равны 6 см, 6 см и $6\sqrt{2}$ см.