19. (3 балла) Найдите все решения уравнения sinx + cosx=0, принадлежащие отрезку [-π; π].

### 19. Решение уравнения $\sin x + \cos x = 0$ Разделим обе части на $\cos x$ (при $\cos x \neq 0$): $\tan x = -1$ $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ На интервале $[-\pi; \pi]$: $k=0 \implies x = -\frac{\pi}{4}$ $k=1 \implies x = \frac{3\pi}{4}$ **Ответ:** $-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$. ### 20. Решение уравнения $\sqrt{6 - 4x - x^2} = x + 4$ Возведем обе части в квадрат (при условии $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$): $6 - 4x - x^2 = x^2 + 8x + 16$ $2x^2 + 12x + 10 = 0 \implies x^2 + 6x + 5 = 0$ Корни по теореме Виета: $x_1 = -1, x_2 = -5$. Проверка условия $x \ge -4$: $-1 \ge -4$ (верно), $-5 \ge -4$ (неверно). Проверка корня $x = -1$: $\sqrt{6 - 4(-1) - (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$, а $x + 4 = -1 + 4 = 3$. Верно. **Ответ:** $-1$. ### 21. Объем конуса Дано: образующая $l = 12$ см, угол $\alpha = 30^\circ$. Высота $h = l \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot 0.5 = 6$ см. Радиус $r = l \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. Объем $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6\sqrt{3})^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \pi \cdot 108 \cdot 6 = 216\pi$. **Ответ:** $216\pi$ см$^3$. ### 22. Решение системы уравнений $\begin{cases} 3x + y = 3 \\ \log_3(5x + 4y) = \log_3(y + 5) \end{cases}$ Из второго уравнения (при условии $5x+4y > 0$ и $y+5 > 0$): $5x + 4y = y + 5 \implies 5x + 3y = 5$ Выразим $y = 3 - 3x$ из первого и подставим: $5x + 3(3 - 3x) = 5$ $5x + 9 - 9x = 5$ $-4x = -4 \implies x = 1$ $y = 3 - 3(1) = 0$ Проверка: $5(1) + 4(0) = 5 > 0$, $0 + 5 = 5 > 0$. Решение верно. **Ответ:** $(1; 0)$.