1. Вычислите: $3^{2 \log_{9} 12}$

Привет! Давай разберем твою контрольную работу. Вот решения по порядку: 1. Вычислите: $3^{2 \log_{9} 12}$ Используем свойство логарифма: $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$. Тогда $2 \log_9 12 = \log_9 12^2 = \log_9 144$. Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Но у нас основание 3, а логарифм по основанию 9. Заметим, что $9 = 3^2$, значит $\log_9 144 = \frac{\log_3 144}{\log_3 9} = \frac{\log_3 144}{2}$. Получаем: $3^{\log_3 144 / 2} = (3^{\log_3 144})^{1/2} = 144^{1/2} = \sqrt{144} = 12$. **Ответ: 12** 2. Неравенство: $0,04 \le 5^{2-x} \le 25$ Запишем всё через основание 5: $0,04 = \frac{1}{25} = 5^{-2}$, $25 = 5^2$. $5^{-2} \le 5^{2-x} \le 5^2$. Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется: $-2 \le 2-x \le 2$. Вычитаем 2: $-4 \le -x \le 0$. Умножаем на -1 (знаки меняются): $4 \ge x \ge 0$, или $x \in [0; 4]$. Целые решения: 0, 1, 2, 3, 4. **Ответ: 0, 1, 2, 3, 4** 3. Тождество: $\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} + \frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha}$ Приведем к общему знаменателю: $\sin \alpha(1+\cos \alpha)$. Числитель: $\sin^2 \alpha + (1+\cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha$. Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем $1 + 1 + 2\cos \alpha = 2 + 2\cos \alpha = 2(1+\cos \alpha)$. Дробь: $\frac{2(1+\cos \alpha)}{\sin \alpha(1+\cos \alpha)} = \frac{2}{\sin \alpha}$. Тождество доказано. 4. График функции $f(x)$: а) Область определения: по графику функция существует от $x = -5$ до $x = 5$ (включительно). $D(f) = [-5; 5]$. б) $f(x) \le -2,5$: смотрим, где график ниже уровня $y = -2,5$. Это промежуток $x \in [-5; -2]$. г) Производная положительна там, где функция возрастает: $x \in [-2; 1]$ и $[3; 5]$. Производная отрицательна там, где функция убывает: $x \in [-5; -2]$ и $[1; 3]$. д) Наибольшее значение функции $y = 3$ (в точке $x = 5$), наименьшее $y = -3$ (в точке $x = -2$). 5. Функции, имеющие производную $y' = 3x + x^2$: Нужно найти первообразную: $\int (x^2 + 3x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C$. 6. Прямые $a$ и $b$: На рисунке $a$ и $b$ пересекают параллельные плоскости. Исходя из признака параллельности прямых в пространстве, если две прямые не пересекаются и лежат в одной плоскости (или пересекают параллельные плоскости под одним углом), они параллельны. Судя по геометрии пересечения, прямые $a$ и $b$ параллельны. 7. Объем тела: Прямоугольный треугольник, катет 6, гипотенуза 10. Второй катет $\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$. Вращение вокруг большего катета (8 см). Радиус конуса $R = 6$, высота $H = 8$. $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi$. **Ответ: $96\pi$** 8. Уравнение: $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$ Пусть $\sin x = t$, $|t| \le 1$. $2t^2 - 3t + 1 = 0$. Дискриминант $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1$. $t_1 = (3+1)/4 = 1$, $t_2 = (3-1)/4 = 0,5$. 1) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. 2) $\sin x = 0,5 \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$. **Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$** 9. $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ на $[4; 5]$. Найдем производную: $y' = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)$. Критические точки: $x = 2, x = -1$. На отрезке $[4; 5]$ производная положительна, функция возрастает. Значит, наименьшее значение в $x=4$: $y(4) = 2(64) - 3(16) - 12(4) + 1 = 128 - 48 - 48 + 1 = 33$. Наибольшее в $x=5$: $y(5) = 2(125) - 3(25) - 12(5) + 1 = 250 - 75 - 60 + 1 = 116$. **Ответ: min = 33, max = 116** 10. План 60 млн, выполнено 72 млн. $(72 / 60) \cdot 100\% = 1,2 \cdot 100\% = 120\%$. **Ответ: 120%**