∫ dx / (x * sqrt(1 + x^2))

Привет! Давай решим этот интеграл: $$\int \frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}}$$ Для решения воспользуемся подстановкой Эйлера или более простой заменой. Удобно сделать замену $t = \sqrt{1+x^2}$. 1. Возведем в квадрат: $t^2 = 1+x^2$, откуда $x^2 = t^2 - 1$. 2. Дифференцируем: $2t \, dt = 2x \, dx$, значит $x \, dx = t \, dt$, следовательно $dx = \frac{t \, dt}{x}$. 3. Подставим в интеграл: $$\int \frac{1}{x \cdot t} \cdot \frac{t \, dt}{x} = \int \frac{dt}{x^2} = \int \frac{dt}{t^2-1}$$ Теперь воспользуемся методом разложения на простейшие дроби: $$\frac{1}{t^2-1} = \frac{1}{(t-1)(t+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} \right)$$ Интегрируем: $$\frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} \right) dt = \frac{1}{2} (\ln|t-1| - \ln|t+1|) + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + C$$ Вернемся к переменной $x$ ($t = \sqrt{1+x^2}$): $$\frac{1}{2} \ln \left| \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1} \right| + C$$ Это выражение можно еще немного упростить, но это уже правильный ответ. **Ответ:** $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1} \right| + C$