Постройте график функции y = |x - 2|(-x^2 + 5x - 6). Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Для построения графика функции $y = |x - 2| \cdot (-x^2 + 5x - 6)$, сначала упростим выражение. Заметим, что $-x^2 + 5x - 6 = -(x - 2)(x - 3)$. Тогда функция принимает вид: $y = |x - 2| \cdot (-(x - 2)(x - 3))$ Раскроем модуль, рассмотрев два случая: 1) Если $x \ge 2$, то $|x - 2| = x - 2$. $y = (x - 2) \cdot (-(x - 2)(x - 3)) = -(x - 2)^2(x - 3)$ 2) Если $x < 2$, то $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. $y = (2 - x) \cdot (-(x - 2)(x - 3)) = (2 - x) \cdot (2 - x)(x - 3) = (x - 2)^2(x - 3)$ Таблица значений для построения: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $1.5$ | $2$ | $2.5$ | $3$ | $4$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | $y$ | $-12$ | $-4$ | $0$ | $0.25$ | $0$ | $0.25$ | $0$ | $-4$ | :::div .chart-container @chart-1::: Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно 3 общие точки в точках локального экстремума. Найдем производную: $y' = -((x-2)^2(x-3))' = -((x-2)^2 + 2(x-2)(x-3)) = -(x-2)(x-2+2x-6) = -(x-2)(3x-8)$. Критические точки: $x = 2$ и $x = 8/3 \approx 2.67$. Значения функции в этих точках: $f(2) = 0$ $f(8/3) = (8/3 - 2)^2 \cdot (8/3 - 3) = (2/3)^2 \cdot (-1/3) = 4/9 \cdot (-1/3) = -4/27 Также, для $x < 2$, $y = (x-2)^2(x-3)$, производная $y' = 2(x-2)(x-3) + (x-2)^2 = (x-2)(2x-6+x-2) = (x-2)(3x-8)$. Критические точки: $x=2$ (уже есть) и $x=8/3$ (не входит в область $x<2$). График имеет 3 точки пересечения с прямой $y=m$ при $m = 0$ (так как график касается оси $x$ в точках $2$ и $3$, а также пересекает ее в $x=3$) и при $m = -4/27$ (локальный минимум). Ответ: $m = 0$ или $m = -4/27$.