Треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С. Используя данные, указанные на рисунке, найдите периметры треугольников АЕС и ВЕС.

### Решение задания 2 Дано: $\triangle ABC$ — прямоугольный, $\angle C = 90^\circ$. Катеты $AC = 12$, $BC = 15$. Точка $E$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AE=10$ и $EB=10$. Значит, $AB = 10 + 10 = 20$. 1. Найдем сторону $EC$. В $\triangle ABC$ по теореме Пифагора гипотенуза $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} = 3\sqrt{41}$. Поскольку $E$ — середина $AB$ ($AE=EB=10$), $EC$ — медиана, проведенная к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине: $EC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$. 2. Периметр $\triangle AEC$ ($P_{AEC}$): $P_{AEC} = AE + EC + AC = 10 + 10 + 12 = 32$. 3. Периметр $\triangle BEC$ ($P_{BEC}$): $P_{BEC} = BE + EC + BC = 10 + 10 + 15 = 35$. **Ответ: Периметр $\triangle AEC = 32$, периметр $\triangle BEC = 35$.** ### Решение задания 3 Дано: $\triangle CDE$ — прямоугольный, $\angle C = 90^\circ$. $CM$ — высота, проведенная к гипотенузе $DE$. $CM = 12$, $\angle CDE = 30^\circ$. Рассмотрим прямоугольный $\triangle CMD$ ($\angle M = 90^\circ$). В нем $\angle D = 30^\circ$. Катет $CM$ лежит против угла $30^\circ$, значит, гипотенуза $CD$ в два раза больше $CM$: $CD = 2 \cdot CM = 2 \cdot 12 = 24$. Теперь рассмотрим большой прямоугольный $\triangle CDE$. В нем $CD$ — это катет. По определению косинуса угла: $\cos(\angle D) = \frac{CD}{CE}$ $\cos(30^\circ) = \frac{24}{CE}$ $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{24}{CE}$ $CE = \frac{24 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}$. **Ответ: $CE = 16\sqrt{3} \approx 27{,}7$.**