Найти S_ABCD

Для решения задачи воспользуемся тем, что центр вписанной окружности $O$ равноудален от сторон четырехугольника. Так как $AB = CD = 20$, можно предположить, что $ABCD$ — равнобедренная трапеция, описанная около окружности. Пусть $O$ — центр окружности. Отрезки $OC$ и $OD$ соединяют центр с вершинами. По условию, $\angle COD = 90^\circ$. Данные отрезки $12$ и $16$ являются радиусами или частями фигуры. Если $O$ — центр вписанной окружности, то расстояние от $O$ до сторон равно радиусу $r$. 1. Найдем площадь треугольника $\triangle COD$: $S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$. 2. Так как $ABCD$ описан около окружности, то по свойству касательных, проведенных из одной точки, и свойствам трапеции, высота трапеции $h = 2r$. В прямоугольном треугольнике $\triangle COD$ высота $h_k$, опущенная на $CD$, равна радиусу окружности $r$: $h_k = \frac{OC \cdot OD}{CD} = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = 9,6$. Значит, радиус $r = 9,6$. 3. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту ($h = 2r = 19,2$). Используя свойство описанного четырехугольника ($AB + CD = AD + BC$): Периметр $P = AB + CD + AD + BC = 20 + 20 + (AD + BC) = 40 + (AD + BC)$. Также $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр. $S = \frac{AD + BC + 40}{2} \cdot 9,6$. Из подобия или свойств вписанной окружности в трапецию, основание $BC$ и $AD$ связаны с радиусом: $r^2 = \frac{BC}{2} \cdot \frac{AD}{2}$. $9,6^2 = 92,16 = \frac{BC \cdot AD}{4} \Rightarrow BC \cdot AD = 368,64$. Решая систему для равнобедренной трапеции, где боковая сторона 20, площадь составит: **Ответ: 384**