Джуди смогла выписать на доску 500 подряд идущих натуральных чисел так, что в них всего 2024 цифры.

Решим обе задачи по порядку. ### Задача 1 Пусть $n$ — первое число последовательности. Всего чисел 500, значит, последовательность выглядит так: $n, n+1, \dots, n+499$. Всего чисел 500. Чтобы количество цифр было 2024, в последовательности должны быть как трехзначные, так и четырехзначные числа. Пусть $k$ чисел — трехзначные, тогда $(500 - k)$ чисел — четырехзначные. Количество цифр: $3k + 4(500 - k) = 2024$. $3k + 2000 - 4k = 2024$ $-k = 24$ $k = -24$ — это невозможно (количество чисел не может быть отрицательным). Значит, числа могут быть только четырехзначными. Но $500 \times 4 = 2000$ цифр, что меньше 2024. Проверим, может, есть двузначные? Нет, это слишком мало. Значит, числа имеют разную разрядность. Пересчитаем: Пусть среди 500 чисел есть $x$ чисел, имеющих 4 цифры, и $500-x$ чисел, имеющих 3 цифры. Уравнение: $4x + 3(500-x) = 2024$ $4x + 1500 - 3x = 2024$ $x = 2024 - 1500 = 524$. Опять больше 500. Значит, числа имеют 4 и 5 знаков? $5x + 4(500-x) = 2024$ $5x + 2000 - 4x = 2024$ $x = 24$. То есть 24 числа имеют 5 знаков (начинаются с 10000), а $500 - 24 = 476$ чисел имеют 4 цифры. Если 476 чисел четырехзначные, то последние из них — это числа до 9999. 476-е число по порядку от начала — это $n + 475 = 9999$, откуда $n = 9524$. Тогда последовательность заканчивается на $n + 499 = 9524 + 499 = 10023$. Проверим количество цифр: 476 чисел по 4 цифры ($476 \times 4 = 1904$) и 24 числа по 5 цифр ($24 \times 5 = 120$). $1904 + 120 = 2024$. Все верно. **Ответ:** 10023. ### Задача 2 Мисс Барашкис поднималась с 1-го этажа на 3-й за 1 минуту. Путь с 1-го на 3-й этаж — это 2 пролета (3 - 1 = 2). Значит, 2 пролета она проходит за 1 минуту. Теперь ей нужно подняться с 1-го на 20-й этаж. Это $20 - 1 = 19$ пролетов. Если 2 пролета — это 1 минута, то 1 пролет — это 0,5 минуты. Тогда 19 пролетов: $19 \times 0,5 = 9,5$ минут. **Ответ:** 9,5.