Исследуйте функцию и постройте ее график (300-302). 300. a) f(x) = 1/2x^2 - 1/5x^5;

Давай разберем функции из задания 300 по твоему алгоритму. Это стандартное исследование функций. ### а) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Производная: $f'(x) = x - x^4 = x(1 - x^3) = x(1 - x)(1 + x + x^2)$. 3. Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 1$. 4. Числовая прямая: $(-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)$. 5. Знаки $f'(x)$: $(-\infty, 0) \rightarrow (-), (0, 1) \rightarrow (+), (1, +\infty) \rightarrow (-)$. 6. Поведение: убывает на $(-\infty, 0]$, возрастает на $[0, 1]$, убывает на $[1, +\infty)$. 7. Экстремумы: $x_{min} = 0, f(0) = 0$; $x_{max} = 1, f(1) = 0.3$. 8. Оси: $f(x)=0 \Rightarrow x^2(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}x^3) = 0 \Rightarrow x=0, x=\sqrt[3]{2.5} \approx 1.36$. $f(0)=0$. ### б) $f(x) = 4x^2 - x^4$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Производная: $f'(x) = 8x - 4x^3 = 4x(2 - x^2) = 4x(\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}+x)$. 3. Критические точки: $x=0, x=\sqrt{2}, x=-\sqrt{2}$. 4. Знаки $f'(x)$: $(-\infty, -\sqrt{2}) (+), (-\sqrt{2}, 0) (-), (0, \sqrt{2}) (+), (\sqrt{2}, +\infty) (-)$. 5. Экстремумы: $x_{max} = \pm\sqrt{2}, f(\pm\sqrt{2}) = 4$; $x_{min} = 0, f(0) = 0$. 6. Оси: $x^2(4-x^2)=0 \Rightarrow x=0, x=\pm 2$. $f(0)=0$. ### в) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{4}{3}x^3$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Производная: $f'(x) = x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4) = x^2(x-2)(x+2)$. 3. Критические точки: $x=0, x=2, x=-2$. 4. Знаки $f'(x)$: $(-\infty, -2) (+), (-2, 0) (-), (0, 2) (-), (2, +\infty) (+)$. 5. Экстремумы: $x_{max} = -2, f(-2) \approx 2.13$; $x_{min} = 2, f(2) \approx -2.13$. $x=0$ — точка перегиба. 6. Оси: $x^3(\frac{1}{5}x^2 - \frac{4}{3}) = 0 \Rightarrow x=0, x=\pm\sqrt{\frac{20}{3}} \approx \pm 2.58$. ### г) $f(x) = 5x^3 - 3x^5$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Производная: $f'(x) = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1 - x^2) = 15x^2(1-x)(1+x)$. 3. Критические точки: $x=0, x=1, x=-1$. 4. Знаки $f'(x)$: $(-\infty, -1) (-), (-1, 0) (+), (0, 1) (+), (1, +\infty) (-)$. 5. Экстремумы: $x_{min} = -1, f(-1) = -2$; $x_{max} = 1, f(1) = 2$. $x=0$ — точка перегиба. 6. Оси: $x^3(5-3x^2)=0 \Rightarrow x=0, x=\pm\sqrt{5/3} \approx \pm 1.29$.