В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена высота AH. Из точки H на сторону AB опущен перпендикуляр HK (K ∈ AB). Известно, что AH : HK = 3 : 1.

Пусть $AH = 3x$, тогда $HK = x$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHK$ (где $\angle HKA = 90^\circ$) и прямоугольный треугольник $AHB$ (где $\angle AHB = 90^\circ$). Угол $\angle A$ — общий для этих треугольников. Следовательно, треугольники $AHK$ и $AHB$ подобны по двум углам. Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению соответствующих сторон: $k = \frac{AH}{AB} = \frac{HK}{BH} = \frac{AK}{AH}$. Из подобия следует, что $\frac{AH}{AB} = \frac{HK}{BH} = \frac{AK}{AH}$. Известно, что $AH = 3x$ и $HK = x$. В треугольнике $AHB$ по теореме Пифагора $AB^2 = AH^2 + BH^2$. Из подобия $\frac{AH}{AB} = \frac{HK}{BH} \Rightarrow \frac{3x}{AB} = \frac{x}{BH} \Rightarrow AB = 3BH$. Подставим в теорему Пифагора: $(3BH)^2 = (3x)^2 + BH^2 \Rightarrow 9BH^2 = 9x^2 + BH^2 \Rightarrow 8BH^2 = 9x^2 \Rightarrow BH = \frac{3x}{\sqrt{8}} = \frac{3x}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}x}{4}$. 1) Периметр треугольника $HBK$: $P_{HBK} = HB + BK + HK$. Так как $HBK$ подобен $AHB$, стороны $HBK$ относятся к сторонам $AHB$ как $HK:AH = 1:3$. Значит, периметр $HBK$ относится к периметру $AHB$ как $1:3$. $P_{AHB} = 3 \cdot P_{HBK} = 3 \cdot 20 = 60$ см. Ответ: 60 см. 2) Площадь треугольника $ABC$ в 2 раза больше площади $AHB$, так как высота $AH$ делит равнобедренный треугольник на два равных по площади. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Площадь треугольника $AHB$ относится к площади $HBK$ как $k^2 = (3/1)^2 = 9$. $S_{AHB} = 9 \cdot S_{HBK} = 9 \cdot 8 = 72$ см$^2$. $S_{ABC} = 2 \cdot S_{AHB} = 2 \cdot 72 = 144$ см$^2$. Ответ: 144 см$^2$.