Вычислите производную функции y = sin x / x

Привет! Давай разберем задачи из твоего варианта. 1. Вычисление производной $y = \frac{\sin x}{x}$: Используем правило производной частного: $y' = \frac{(\sin x)' \cdot x - \sin x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$. 2. Полный дифференциал функции $z = 3y^2x^3 - 4yx^2 + 3y$: Находим частные производные: $\frac{\partial z}{\partial x} = 9x^2y^2 - 8xy$; $\frac{\partial z}{\partial y} = 6yx^3 - 4x^2 + 3$. Тогда полный дифференциал: $dz = (9x^2y^2 - 8xy)dx + (6yx^3 - 4x^2 + 3)dy$. 3. Интегрирование методом подстановки $\int \frac{2xdx}{x^2 + 1}$: Пусть $t = x^2 + 1$, тогда $dt = 2xdx$. $\int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C = \ln(x^2 + 1) + C$. 4. Вычисление определенного интеграла $\int_{-1}^{2} x^4 dx$: $\left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} - (-\frac{1}{5}) = \frac{33}{5} = 6.6$. 5. Площадь фигуры, ограниченной $y = -x^2 + 4x - 5, x=0, x=4, y=0$: Парабола $y = -x^2 + 4x - 5$ расположена под осью Ox. Площадь равна интегралу от модуля функции: $\int_{0}^{4} -( -x^2 + 4x - 5 ) dx = \int_{0}^{4} (x^2 - 4x + 5) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_0^4 = (\frac{64}{3} - 32 + 20) = \frac{64}{3} - 12 = \frac{28}{3} \approx 9.33$. 6. Вероятность того, что шар черный: Всего шаров $20 + 15 = 35$. Благоприятных исходов 15. $P = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} \approx 0.43$. 7. Дисперсия случайной величины X: Находим математическое ожидание $M(X) = \sum x_i p_i$: $M(X) = 14 \cdot 0.1 + 18 \cdot 0.2 + 23 \cdot 0.2 + 28 \cdot 0.1 + 30 \cdot 0.4 = 1.4 + 3.6 + 4.6 + 2.8 + 12 = 24.4$. Находим $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i$: $M(X^2) = 196 \cdot 0.1 + 324 \cdot 0.2 + 529 \cdot 0.2 + 784 \cdot 0.1 + 900 \cdot 0.4 = 19.6 + 64.8 + 105.8 + 78.4 + 360 = 628.6$. Дисперсия $D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 628.6 - (24.4)^2 = 628.6 - 595.36 = 33.24$.