1.Найдите корень уравнения 1. 2^3x-15 = 1/64

Привет! Давай разберем эти задания по порядку. ### Задание 1. Найдите корень уравнения 1. $2^{3x-15} = \frac{1}{64}$ Представим $\frac{1}{64}$ как степень двойки: $\frac{1}{64} = 2^{-6}$. $2^{3x-15} = 2^{-6}$ $3x - 15 = -6$ $3x = 9$ $x = 3$ **Ответ: 3** 2. $(\frac{1}{6})^{4x-6} = \frac{1}{36}$ Заметим, что $\frac{1}{36} = (\frac{1}{6})^2$. $(\frac{1}{6})^{4x-6} = (\frac{1}{6})^2$ $4x - 6 = 2$ $4x = 8$ $x = 2$ **Ответ: 2** 3. $\log_2(3 + x) = 7$ По определению логарифма: $3 + x = 2^7$. $3 + x = 128$ $x = 125$ Проверка: $\log_2(3+125) = \log_2(128) = 7$. Верно. **Ответ: 125** 4. $\lg(x^2 - 9) = \lg(4x + 3)$ Приравниваем аргументы логарифмов: $x^2 - 9 = 4x + 3$. $x^2 - 4x - 12 = 0$ По теореме Виета корни: $x_1 = 6, x_2 = -2$. Проверка ОДЗ ($x^2 - 9 > 0$ и $4x + 3 > 0$): - Если $x = 6$: $36-9=27 > 0$ и $24+3=27 > 0$. Подходит. - Если $x = -2$: $4-9=-5 < 0$. Не подходит (подлогарифмическое выражение отрицательно). **Ответ: 6** 5. $\operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3}$ Вспомним, что $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi n$ $x = \frac{4\pi - 3\pi}{12} + \pi n = \frac{\pi}{12} + \pi n$ **Ответ: $\frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$** 6. $5\cos^2 x + 2\cos x - 7 = 0$ Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. $5t^2 + 2t - 7 = 0$ Корни квадратного уравнения: $D = 4 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 4 + 140 = 144 = 12^2$. $t_1 = \frac{-2 + 12}{10} = 1$; $t_2 = \frac{-2 - 12}{10} = -1.4$ (не подходит, т.к. $|t| \le 1$). $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $2\pi n, n \in \mathbb{Z}$** ### Задание 2. Решите неравенство а) $\log_2 x + \log_2 4 \le 3$ $\log_2 x + 2 \le 3$ $\log_2 x \le 1$ $x \le 2^1$ С учетом ОДЗ ($x > 0$): $0 < x \le 2$. **Ответ: $(0; 2]$** б) $5^{x-3} \ge 125$ $5^{x-3} \ge 5^3$ Так как основание больше 1, знак сохраняется: $x - 3 \ge 3$ $x \ge 6$ **Ответ: $[6; +\infty)$**