1.Найдите корень уравнения

### Решение уравнений (Задание 1) 1. $2^{4x-19} = \frac{1}{8}$ Представим $\frac{1}{8}$ как степень двойки: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$. $2^{4x-19} = 2^{-3}$ $4x - 19 = -3$ $4x = 16$ $x = 4$ **Ответ: 4** 2. $(\frac{1}{3})^{x-18} = \frac{1}{27}$ Представим $\frac{1}{27}$ как степень $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$. $(\frac{1}{3})^{x-18} = (\frac{1}{3})^3$ $x - 18 = 3$ $x = 21$ **Ответ: 21** 3. $\log_3(4 - x) = 4$ По определению логарифма: $4 - x = 3^4$ $4 - x = 81$ $-x = 77$ $x = -77$ Проверка ОДЗ: $4 - (-77) = 81 > 0$ (верно). **Ответ: -77** 4. $\log_8(7 + x) = \log_8(2x - 15)$ ОДЗ: $\begin{cases} 7+x > 0 \Rightarrow x > -7 \\ 2x-15 > 0 \Rightarrow x > 7,5 \end{cases} \Rightarrow x > 7,5$. Приравняем аргументы: $7 + x = 2x - 15$ $x - 2x = -15 - 7$ $-x = -22$ $x = 22$ **Ответ: 22** 5. $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1$ Частный случай: $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$** 6. $6\cos^2 x + 7\cos x - 3 = 0$ Замена $t = \cos x, t \in [-1; 1]$. $6t^2 + 7t - 3 = 0$ $D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2$ $t_1 = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ $t_2 = \frac{-7 - 11}{12} = \frac{-18}{12} = -1,5$ (не подходит, так как $|t| \le 1$) $\cos x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $\pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$** ### Решение неравенств (Задание 2) a) $\log_3(x + 1) < 3$ ОДЗ: $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$. $x + 1 < 3^3$ $x + 1 < 27$ $x < 26$ С учетом ОДЗ: $x \in (-1; 26)$ **Ответ: $x \in (-1; 26)$** б) $3,2^{2x-5} < 1$ $3,2^{2x-5} < 3,2^0$ Так как основание $3,2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $2x - 5 < 0$ $2x < 5$ $x < 2,5$ **Ответ: $x < 2,5$**