Вычислите производную функции $z = \sin(t) / t$

1. Производная функции $z = \frac{\sin t}{t}$ находится по правилу дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $z' = \frac{(\sin t)' \cdot t - \sin t \cdot (t)'}{t^2} = \frac{t \cos t - \sin t}{t^2}$ 2. Полный дифференциал $dz$ находится как сумма частных производных: $\frac{\partial z}{\partial x} = 9y^2x^2 - 8yx$ $\frac{\partial z}{\partial y} = 6yx^3 - 4x^2 + 3$ $dz = (9y^2x^2 - 8yx)dx + (6yx^3 - 4x^2 + 3)dy$ 3. Для вычисления интеграла $\int \frac{2xdx}{x^2+1}$ применим метод подстановки. Пусть $u = x^2+1$, тогда $du = 2x dx$: $\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln(x^2+1) + C$ 4. Определенный интеграл $\int_1^2 e^x dx$: $\int_1^2 e^x dx = [e^x]_1^2 = e^2 - e^1 = e(e-1) \approx 4.67$ 5. Площадь фигуры $S = \int_0^4 (x^2 - 4x + 5) dx$: $S = [\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x]_0^4 = (\frac{64}{3} - 32 + 20) - 0 = \frac{64}{3} - 12 = \frac{64-36}{3} = \frac{28}{3} \approx 9.33$ 6. Вероятность того, что шар черный: $P = \frac{15}{20+15} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} \approx 0.43$ 7. Найдем математическое ожидание $E(X)$ и $E(X^2)$: $E(X) = 14 \cdot 0.1 + 18 \cdot 0.2 + 23 \cdot 0.2 + 28 \cdot 0.1 + 30 \cdot 0.4 = 24.4$ $E(X^2) = 14^2 \cdot 0.1 + 18^2 \cdot 0.2 + 23^2 \cdot 0.2 + 28^2 \cdot 0.1 + 30^2 \cdot 0.4 = 628.6$ $D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 628.6 - (24.4)^2 = 628.6 - 595.36 = 33.24$ 8. Для конического штабеля: Длина окружности $C = 2\pi R = 32 \implies R = \frac{16}{\pi} \approx 5.09$ м. Высота $H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{7^2 - (5.09)^2} \approx 4.8$ м. Объем $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \approx \frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot 25.9 \cdot 4.8 \approx 130.45$ м$^3$. С учетом усадки (уменьшение объема на 15%): $V_{final} = 130.45 \cdot 0.85 \approx 110.88$ м$^3$.