Вычислите производную функции y = sin x / x

Привет! Давай разберем задания из твоего листа. ### 1. Вычисление производной Применим правило производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $y' = \frac{(\sin x)' \cdot x - \sin x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$. ### 2. Полный дифференциал Формула: $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$. Находим частные производные: $\frac{\partial z}{\partial x} = 9y^2x^2 - 8yx$ $\frac{\partial z}{\partial y} = 6yx^3 - 4x^2 + 3$ Итого: $dz = (9y^2x^2 - 8yx)dx + (6yx^3 - 4x^2 + 3)dy$. ### 3. Интегрирование способом подстановки $\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx$ Пусть $t = x^2 + 1$, тогда $dt = 2x dx$. $\int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C = \ln(x^2 + 1) + C$. ### 4. Вычисление интеграла $\int_{-1}^2 x^4 dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^2 = \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} - (-\frac{1}{5}) = \frac{33}{5} = 6,6$. ### 5. Площадь фигуры Функция $y = -x^2 + 4x - 5$ принимает только отрицательные значения (ветви вниз, вершина в $(2, -1)$). Поэтому площадь находим через определенный интеграл от модуля функции на отрезке $[0; 4]$: $S = \int_0^4 (x^2 - 4x + 5) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_0^4 = \frac{64}{3} - 32 + 20 = \frac{64}{3} - 12 = \frac{28}{3} \approx 9,33$. ### 6. Вероятность Всего шаров: $20 + 15 = 35$. Черных: $15$. Вероятность $P = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$. ### 7. Дисперсия Для начала найдем математическое ожидание $E(X)$: $E(X) = 14 \cdot 0,1 + 18 \cdot 0,2 + 23 \cdot 0,2 + 28 \cdot 0,1 + 30 \cdot 0,4 = 1,4 + 3,6 + 4,6 + 2,8 + 12 = 24,4$. Теперь найдем $E(X^2)$: $E(X^2) = 14^2 \cdot 0,1 + 18^2 \cdot 0,2 + 23^2 \cdot 0,2 + 28^2 \cdot 0,1 + 30^2 \cdot 0,4 = 19,6 + 64,8 + 105,8 + 78,4 + 360 = 628,6$. Дисперсия $D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 628,6 - 24,4^2 = 628,6 - 595,36 = 33,24$. **Ответ:** 1. $\frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$ 2. $(9y^2x^2 - 8yx)dx + (6yx^3 - 4x^2 + 3)dy$ 3. $\ln(x^2 + 1) + C$ 4. $6,6$ 5. $\frac{28}{3} \approx 9,33$ 6. $\frac{3}{7}$ 7. $33,24$