Задание 18: Найти dz/dx и dz/dy функции: 4) z = tg(x/y) * sin(y/x)

Для решения задачи воспользуемся правилом нахождения производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Дана функция: $z = \operatorname{tg} \frac{x}{y} \cdot \sin \frac{y}{x}$ 1. Найдем частную производную по $x$ ($?rac{\partial z}{\partial x}$): Считаем $y$ константой: $\frac{\partial z}{\partial x} = \left( \operatorname{tg} \frac{x}{y} \right)' \cdot \sin \frac{y}{x} + \operatorname{tg} \frac{x}{y} \cdot \left( \sin \frac{y}{x} \right)'$ $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{y}} \cdot \frac{1}{y} \cdot \sin \frac{y}{x} + \operatorname{tg} \frac{x}{y} \cdot \cos \frac{y}{x} \cdot \left( -\frac{y}{x^2} \right)$ $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\sin \frac{y}{x}}{y \cos^2 \frac{x}{y}} - \frac{y \operatorname{tg} \frac{x}{y} \cos \frac{y}{x}}{x^2}$ 2. Найдем частную производную по $y$ ($?rac{\partial z}{\partial y}$): Считаем $x$ константой: $\frac{\partial z}{\partial y} = \left( \operatorname{tg} \frac{x}{y} \right)' \cdot \sin \frac{y}{x} + \operatorname{tg} \frac{x}{y} \cdot \left( \sin \frac{y}{x} \right)'$ $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{y}} \cdot \left( -\frac{x}{y^2} \right) \cdot \sin \frac{y}{x} + \operatorname{tg} \frac{x}{y} \cdot \cos \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x}$ $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x \sin \frac{y}{x}}{y^2 \cos^2 \frac{x}{y}} + \frac{\operatorname{tg} \frac{x}{y} \cos \frac{y}{x}}{x}$