1. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.

### Задача 1 Пусть сторона правильного треугольника в осевом сечении равна $a$. 1. Радиус основания конуса $r = a/2$, высота $H = a\frac{\sqrt{3}}{2}$, образующая $l = a$. 2. Радиус вписанного шара $R = \frac{S_{треуг}}{p} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} a^2}{\frac{3a}{2}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. 3. Площадь сферы $S_{сф} = 4\pi R^2 = 4\pi \frac{a^2}{12} = \frac{\pi a^2}{3}$. 4. Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок} = \pi rl = \pi \frac{a}{2} \cdot a = \frac{\pi a^2}{2}$. 5. Отношение $S_{сф} : S_{бок} = \frac{\pi a^2}{3} : \frac{\pi a^2}{2} = \frac{2}{3}$. **Ответ:** 2/3 ### Задача 2 1. В основании призмы — прямоугольный треугольник. Катет $2a$, прилежащий угол $60^\circ$. Второй катет $2a \cdot \tan 60^\circ = 2a\sqrt{3}$. 2. Гипотенуза треугольника $c = \sqrt{(2a)^2 + (2a\sqrt{3})^2} = \sqrt{4a^2 + 12a^2} = 4a$. Радиус цилиндра $R = c/2 = 2a$. 3. Большая боковая грань соответствует большему катету $2a\sqrt{3}$. Высота призмы $H$. Угол диагонали грани с основанием $45^\circ$, значит $H = 2a\sqrt{3} \cdot \tan 45^\circ = 2a\sqrt{3}$. 4. Объём цилиндра $V = \pi R^2 H = \pi (2a)^2 (2a\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}\pi a^3$. **Ответ:** 8\sqrt{3}\pi a^3 ### Задача 3 1. Пусть боковое ребро $b$. Угол между ребром и основанием $30^\circ$. Высота пирамиды $H = b \sin 30^\circ = b/2$. 2. Расстояние от вершины основания до центра основания (радиус описанной окружности основания) $R_{осн} = b \cos 30^\circ = b\frac{\sqrt{3}}{2}$. 3. Радиус описанной сферы $R_{сф}$ находится по формуле $R_{сф} = \frac{L^2}{2H}$, где $L$ — боковое ребро. 4. $R_{сф} = \frac{b^2}{2(b/2)} = b$. 5. Площадь сферы $S = 4\pi R_{сф}^2 = 4\pi b^2$. **Ответ:** 4\pi b^2