В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.

Question

Вопрос:

В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть радиус основания конуса равен $r$, а образующая конуса — $l$. Так как осевое сечение конуса — правильный треугольник, то его стороны равны $2r$, откуда $l = 2r$. 1. Найдём площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$): $S_{бок} = \pi r l = \pi r \cdot 2r = 2 \pi r^2$. 2. Рассмотрим шар, вписанный в конус. В сечении мы видим окружность, вписанную в правильный треугольник со стороной $2r$. Радиус $R$ этой окружности (он же радиус шара) равен радиусу вписанной окружности правильного треугольника: $R = \frac{\sqrt{3}}{6} a = \frac{\sqrt{3}}{6} (2r) = \frac{\sqrt{3}}{3} r$. 3. Найдём площадь поверхности сферы ($S_{сферы}$): $S_{сферы} = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3} r\right)^2 = 4 \pi \cdot \frac{3}{9} r^2 = 4 \pi \cdot \frac{1}{3} r^2 = \frac{4}{3} \pi r^2$. 4. Найдём отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса: $\frac{S_{сферы}}{S_{бок}} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^2}{2 \pi r^2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$. **Ответ: 2/3.**

В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.

Ответ ассистента

Другие решения