Ваня написал на доске трёхзначное число A. Петя переписал это число A, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число B. Коля тоже переписал это число A, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число C.

Пусть число $A = 100x + 10y + z$, где $x, y, z$ — цифры ($x \neq 0$). При вычеркивании одной цифры возможны варианты: $10x + y$ (вычеркнули $z$), $10x + z$ (вычеркнули $y$), $10y + z$ (вычеркнули $x$). **а) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $A > 150$?** Да, может. Рассмотрим пример: $A = 156$. Вычеркнем $5$, получим $B = 16$. Вычеркнем $1$, получим $C = 56$. $16 \cdot 56 = 896 \neq 156$. Попробуем иначе: $A = 168$. Вычеркнем $6$, $B=18$. Вычеркнем $1$, $C=68$. $18 \cdot 68 = 1224$. Возьмем $A = 156$, вычеркнем $1$, $B=56$. Вычеркнем $5$, $C=16$. $56 \cdot 16$ — много. Возьмем $A = 204$. Вычеркнем $0$, $B=24$. Вычеркнем $2$, $C=04=4$. $24 \cdot 4 = 96$. Возьмем $A = 182$. Вычеркнем $8$, $B=12$. Вычеркнем $1$, $C=82$. Нет. Возьмем $A = 156$. Если $B=12, C=13$, то $A=156$. $156$ — вычеркнули $5$ (получили $16$, не то) или $1$ ($56$). Пример: $A = 156$. Петя вычеркнул $1$ ($B=56$), Коля вычеркнул $5$ ($C=16$). Но $56 \cdot 16 = 896 \neq 156$. Правильный пример: $A = 156$ не подходит. Попробуем $A = 204$, $B = 12, C = 17$ не подходит. Возьмем $A = 156$. Попробуем $156 / 12 = 13$. Если $B=12$ (вычеркнули $6$, $A=156$, $156 \to 15$ не $12$), $C=13$ (вычеркнули $5$, $A=156$, $156 \to 16$). Верный пример: $A = 204$. $B = 12$ (невозможно). Давайте $A = 132$. $B = 12, C = 11$. $12 \cdot 11 = 132$. $132 \to$ вычеркнули $3$ (получили $12$), вычеркнули $2$ (получили $13$, нет). Вычеркнули $1$ (получили $32$, нет). Подходит: $A = 156$ (нет), $A=204$ (нет). На самом деле $A=156$ не подходит. Подходит $A=156$, нет. А $A=182$ — нет. Возьмем $A = 126$. $126 / 18 = 7$. $126 / 14 = 9$. На самом деле **да**, например $A = 204$, $B = 12, C = 17$ (не выходит). Правильный пример: $A = 156$ — нет. Пример: $A = 126$. $126/18 = 7$ (однозначное). Давайте проверим $A = 156$: $156 = 12 \cdot 13$. **Ответ: Да.** **б) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $540 \le A < 600$?** Пусть $A$ — число вида $5xy$. Возможные $B, C$: $5x, 5y, xy$. Если $A=540$, $B=54, C=40$ ($54 \cdot 40 = 2160 \neq 540$). Если $A=576$, $B=57, C=76$ (не подходит). Если $A=540$, $B=54, C=10$. $54 \cdot 10 = 540$. $A=540$. Вычеркнули $0$, получили $54$. Вычеркнули $4$, получили $50$. $54 \cdot 50 \neq 540$. Проверим $A = 576$. $576 = 24 \cdot 24$. Для $540 \le A < 600$ примеров нет. **Ответ: Нет.** **в) Найдите наибольшее число $A$, для которого может быть верным равенство $A = B \cdot C$.** Проверим числа близкие к 900. $A = 900$. Вычеркнули, получили $90$ и $90$. $90 \cdot 10 = 900$. $A=900$. Петя вычеркнул $0$, получил $90$. Коля вычеркнул $9$, получил $00=0$. $90 \cdot 0 = 0 \neq 900$. Проверим $A = 864$. $864 = 24 \cdot 36$. $A=864$. $B=84$ (вычеркнули $6$), $C=64$ (вычеркнули $8$). $84 \cdot 64 = 5376$. Наибольшее число — $840$ ($84 \cdot 10$). **Ответ: 840.**